Une généralisation du problème de Cauchy
Annales de l'Institut Fourier, Volume 4 (1952), p. 31-48

L’objet de la note est l’étude d’un problème de Cauchy pour l’équation fonctionnelle : y (n) (t)=U n [y(t)], t<0, avec y (k) (t)y k , k=0,1,...,n-1, quand l0. On suppose que la solution et les données {y k } sont des éléments d’un espace (B), U est un opérateur linéaire de domaine D[U]X, les dérivées et les limites sont prises au sens fort. Une solution est du type normal si t -1 log y (n-1) (t) reste borné quant t. On montre que le problème admet au plus une solution du type normal pour n’importe quelles données dans X, si U est clos et ses valeurs propres ne sont pas denses dans aucun demi-plan droit.

Si n=1, si U est clos et si le problème admet une solution du type normal restreint, y(t,y 0 ), pour chaque y 0 D[U], alors U engendre un semi-groupe T(t), fortement continu, et y(t,y 0 )=T(t)[y 0 ]. Si n=2 et si U et -U engendrent des semi-groupes fortement continus à t=0, ceux-ci forment un groupe, la solution du problème de Cauchy existe pour y 0 D[U 2 ], y 1 D[U]R[U] et s’exprime en moyen de T(t) et T(-t). Si n>2, le problème général ne semble pas être résoluble et il faut le remplacer par un problème réduit avec un nombre m<n des conditions initiales. Si U engendre un semi-groupe T(t) analytique dans un secteur, θ 1 < arg t<θ 2 , et continu sur la frontière, on peut prendre m égale au nombre de racines d’unité d’ordre n dans le secteur fermé et on exprime la solution du problème réduit en moyen des valeurs de T(t) sur les rayons contenant les racines d’unité.

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Hille, Einar. Une généralisation du problème de Cauchy. Annales de l'Institut Fourier, Volume 4 (1952) pp. 31-48. doi : 10.5802/aif.44. http://www.numdam.org/item/AIF_1952__4__31_0/

[1] Hille. Functional Analysis and Semi-Groups. American Mathematical Society, Colloquium Lectures XXXI, New-York, 1948. | MR 9,594b | Zbl 0033.06501

[2] Hille. On the Generation of Semi-Groups and the Theory of Conjugate Functions. Proc. R. Physiographical Society, Lund, t. 21, n° 14, 1951, 130-142. | MR 13,660c | Zbl 0044.32902

[3] Hille. A Note on Cauchy's Problem. Annales de la Société Polonaise de Mathématiques, t. 25, 1952, 13 p. | MR 15,39b | Zbl 0049.09003