Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution
Annales de l'Institut Fourier, Tome 6 (1956), pp. 271-355.

Le premier chapitre est consacré (aux équations aux dérivées partielles à coefficients constants. Une telle équation possède toujours une solution élémentaire E possédant la propriété suivante : si f est une fonction de carré sommable à support compact, E*f est une fonction localement de carré sommable.

Dans tout ouvert convexe, une équation dont le second membre est indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable) admet une solution indéfiniment différentiable (resp. localement de carré sommable).

Les solutions d’une équation homogène dans un ouvert convexe sont limites de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions.

Le second chapitre est consacré aux équations de convolution homogène dont le noyau est à support compact : toute solution d’une telle équation est limite de combinaisons linéaires des exponentielles-polynômes solutions (ce qui généralise aux fonctions de plusieurs variables une partie des résultats de Delsarte et Schwartz sur les fonctions moyennes-périodiques).

Le troisième chapitre est consacré aux équations elliptiques (appelées ici : équations du type (P), à valeurs dans des espaces fibrés à fibre vectorielle de base non compacte : on fait l’hypothèse suivante : toute solution de l’équation (homogène, transposée, nulle sur un ouvert, est identiquement nulle (hypothèse vérifiée, par exemple, si l’équation est à coefficients analytiques). Alors :

a) Toute équation avec second membre admet une solution.

b) Toute solution de l’équation homogène dans un ouvert est limite de solutions dans tout l’espace si et seulement si le complémentaire de cet ouvert n’a pas de composantes connexes compactes.

Application : sur un espace de Riemann analytique, on peut calculer la cohomologie avec les formes différentielles à coefficients analytiques.

@article{AIF_1956__6__271_0,
     author = {Malgrange, Bernard},
     title = {Existence et approximation des solutions des \'equations aux d\'eriv\'ees partielles et des \'equations de convolution},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {271--355},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {6},
     year = {1956},
     doi = {10.5802/aif.65},
     mrnumber = {19,280a},
     zbl = {0071.09002},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.65/}
}
TY  - JOUR
AU  - Malgrange, Bernard
TI  - Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1956
SP  - 271
EP  - 355
VL  - 6
PB  - Imprimerie Louis-Jean
PP  - Gap
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.65/
DO  - 10.5802/aif.65
LA  - fr
ID  - AIF_1956__6__271_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Malgrange, Bernard
%T Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1956
%P 271-355
%V 6
%I Imprimerie Louis-Jean
%C Gap
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.65/
%R 10.5802/aif.65
%G fr
%F AIF_1956__6__271_0
Malgrange, Bernard. Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution. Annales de l'Institut Fourier, Tome 6 (1956), pp. 271-355. doi : 10.5802/aif.65. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.65/

[1] N. Aronszajn. Sur l'unicité du prolongement des solutions des équations aux dérivées partielles elliptiques du 2e ordre, C. R. Acad. Sc. 242 (1956), p. 723-725. | MR | Zbl

[1bis] H. Behnke und K. Stein, Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen, Math. Annalen, 120 (1948), p. 430-461. | MR | Zbl

[2] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Chap. I et II, Hermann, Paris, 1953.

[3] H. Cartan, Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes, Bull. Soc. Math. de France, 78 (1950), p. 28-64. | Numdam | MR | Zbl

[4] H. Cartan, Séminaire E. N. S., 1951-1952, (polycopié).

[5] H. Cartan, Variétés analytiques complexes et cohomologie, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953, p. 41-55. | MR | Zbl

[6] T. Carleman, Sur les systèmes linéaires aux dérivées partielles du premier ordre à deux variables, C. R. Acad. Sc. 197 (1953), p. 471-474. | Zbl

[7] J. Delsarte, Les fonctions moyenne-périodiques. Journal Math. pures et appl., série 9, t. 14 (1935), p. 403-453. | JFM | Zbl

[8] J. Dieudonné et L. Schwartz, La dualité dans les espaces (F) et (LF), Ann. Inst. Fourier (1949). p. 61-101. | Numdam | MR | Zbl

[8bis] K. O. Friedrichs, Differentiability of solutions of linear elliptic equations, Comm. Pures & Appl. Math. (1953), p. 299-326. | MR | Zbl

[9] L. Gårding, Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations, Math. Scand., 1 (1953), p. 55-72. | MR | Zbl

[10] A. Grothendieck, Sur les espaces de solutions d'une classe générale d'équations aux dérivées partielles, Journal Anal. Math., Jérusalem (1952-1953), p. 243-280. | MR | Zbl

[11] A. Grothendieck, Sur les espaces (F) et (DF), Summa Brasiliensis Math., 3, 6 (1954), p. 57-121. | MR | Zbl

[12] A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Memoirs of the Amer. Math. Soc. | Zbl

[13] A. Grothendieck, Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires, Ann. Inst. Fourier (1952), p. 73-112. | Numdam | MR | Zbl

[14] F. John, General properties of solutions of linear elliptic partial differentials equations, Symposium on spectral theory and differentials problems, Oklahoma (1951), p. 113-175. | MR | Zbl

[15] J. P. Kahane, Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement relatifs aux fonctions approchables par des sommes d'exponentielles, Ann. Inst, Fourier (1953-1954), p. 39-130. | Numdam | MR | Zbl

[15bis] P. D. Lax, On Cauchy problem for hyperbolic équations, and the differentiability of solutions of elliptic equations, Comm. Pures & Appl. Math. (1955), p. 615-631. | MR | Zbl

[16] E. Lindelöf, Sur les fonctions entières d'ordre entier, Ann. E. N. S., 22 (1905), p. 369-395. | JFM | Numdam

[17] J.-L. Lions, Supports dans la transformation de Laplace, Journal Anal. Math., Jérusalem (1952-1953), p. 369-380. | Zbl

[18] J.-L. Lions et L. Schwartz, Problèmes aux limites sur certains espaces fibrés, Acta. Math., 94 (1955), p. 155-159. | MR | Zbl

[19] B. Malgrange, Equations aux dérivées partielles à coefficients constants. Solution élémentaire, C. R. Acad. Sc., 237 (1953), p. 1620-1622. | MR | Zbl

[20] B. Malgrange, Equations aux dérivées partielles à coefficients constants. 2 : Equations avec second membre, C. R. Acad. Sc., 238 (1954), p. 196-198. | MR | Zbl

[21] B. Malgrange, Sur quelques propriétés des équations de convolution, C. R. Acad. Sc., 238 (1954), p. 2219-2221. | MR | Zbl

[22] B. Malgrange, Formes harmoniques sur des espaces de Riemann à ds2 analytique, C. R. Acad. Sc., 240 (1955), p. 1958-1960. | MR | Zbl

[23] H. Muggli, Differentialgleichungen unendlichhöher Ordnung mit konstanten Koeffizienten, Comm. math. Helvetici, 11 (1938-1939), p. 151-179. | JFM | Zbl

[24] I. G. Petrowsky, Sur l'analyticité des solutions des systèmes d'équations différentielles, Mat. Sbornik, 5 (1938), p. 3-68. | JFM | MR | Zbl

[25] G. De Rham, Variétés différentiables, Hermann, Paris 1955. | Zbl

[26] L. Schwartz, Théorie des distributions, t. 1 et 2, Hermann, Paris 1950-1951. | Zbl

[27] L. Schwartz, Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques, Ann. of. Math., 48 (1947), p. 857-929. | MR | Zbl

[28] L. Schwartz, Séminaire 1953-1954 (polycopié).

[29] L. Schwartz, Séminaire 1954-1955 (polycopié).

[30] L. Schwartz, Homomorphismes et applications complètement continues, C. R. Acad. Sc., 236 (1953), p. 2472-2473. | MR | Zbl

L. Schwartz et J. Dieudonné, Voir J. Dieudonné et L. Schwartz.

L. Schwartz et J. L. Lions, Voir J. L. Lions et L. Schwartz.

[31] J. P. Serre, Un théorème de dualité, Comm. Math. Helvet., 29 (1955), p. 9-26. | MR | Zbl

K. Stein und H. Behnke, Voir H. Behnke und K. Stein.

[32] G. Valiron, Sur les solutions des équations différentielles linéaires d'ordre infini et à coefficients constants, Ann. E. N. S., 46 (1929), p. 25-53. | JFM | Numdam

[33] I. N. Vekoua, Sistemy differentsial'nykh ouravnenii, Mat. Sbornik, 31 (73) (1952), p. 217-314.

[34] A. Weil, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Hermann, Paris 1940. | JFM | MR | Zbl

[35] Contributions to the theory of partial differential equations, Princeton 1954. | Zbl

[36] L. Ehrenpreis, Solution of some problems of division I, Amer. Journal of Math., 76 (1954), p. 883-903. | MR | Zbl

[37] L. Ehrenpreis, Solution of some problems of division II, Amer. Journal of Math., 77 (1955), p. 286-292. | MR | Zbl

[38] L. Ehrenpreis, Mean periodic functions I, Amer. Journal of Math., 77 (1955), p. 293-327. | Zbl

[39] L. Ehrenpreis, The division problem for distribution, Proc. Nat. Acad. Sc. 41-10 (1955), p. 756-758. | MR | Zbl

[40] L. Ehrenpreis, Completely inversible operators, Proc. Nat. Acad. Sc. 41-11 (1955), p. 945-946. | MR | Zbl

[41] L. Hörmander, On the theory of general partial differential operators, Acta. Math., 94 (1955) p. 160-248. | MR | Zbl

Cité par Sources :