Les singularités des applications différentiables

Thom, René

Annales de l'Institut Fourier, Tome 6 (1956), pp. 43-87.

Les singularités des applications différentiables $f$ d’un espace euclidien ${\mathbf{R}}^n$ dans un ${\mathbf{R}}^p$ font l’objet d’une première classification ; on s’intéresse particulièrement aux singularités “génériques”, i.e. celles qui subsistent après une déformation arbitrairement petite de l’application. On montre que le lieu $S_k\left(f\right)$ des points de ${\mathbf{R}}^n$ où le rang de $f$ s’abaisse de $k$ unités est génériquement une sous-variété sans singularités de ${\mathbf{R}}^n$ où le rang de $f$ s’abaisse de $k$ unités est génériquement une sous-variété sans singularités de ${\mathbf{R}}^n$ où le rang de $f$ s’abaisse de $k$ unités est génériquement une sous-variété sans singularités de ${\mathbf{R}}^n$, de codimension $k(n-p+k)$. On définit les singularités exceptionnelles d’ordre $p$, dont la détermination fait intervenir les dérivées d’ordre $p$ de $f$. On étudie ces singularités au point de vue de l’équivalence topologique locale, ainsi qu’au point de vue homologique global. On démontre par exemple que le nombre des points critiques exceptionnels d’une application $f$ d’une variété compacte $V^n$ dans le plan (nombre des points de rebroussement du contour apparent) est congru mod. 2 à la caractéristique d’Euler-Poincaré de $V^n$.

[1] S. Chern, On the multiplication of the characteristic ring of a spherebundle, Ann of Math., 49, 1948, p. 2. | MR | Zbl

[2] A. Dold, Uber fasernweise Homotopieäquivalenz von Faserräumen, Math. Zeitschr. Bd. 62, S. 111-136 (1955). | MR | Zbl

[3] C. Ehresman, Sur la topologie de certaines variétés algébriques réelles, Journal de Math., 104 (1939), pp. 362-372.

[4] M. Morse, Functional Topology and abstract variational Theory Memorial, Fascicule 10.

[5] F. Roger, Sur les variétés critiques des systèmes de fonctions de plusieurs variables... Comptes Rendus 1939, p. 29. | JFM | Zbl

[6] A. Sard, The measure of the critical values of differentiable maps, Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 48, N° 12 pp. 883-890. | MR | Zbl

[7] R. Thom, Espaces fibrés en sphères et carrés de Steenrod, Annales Ecole Norm. Sup., 69 (3), 1952, pp. 109-181. | Numdam | MR | Zbl

[8] R. Thom, Quelques propriétés globales des variétés différentiables, Commentarii Math. Helv., 28 (1), 1954 pp. 17-86. | MR | Zbl

[9] H. Whitney, Analytic Extensions of differentiable functions defined in closed sets, Trans. Amer. Math. Soc., 36 (1), 1934, pp. 63-89. | JFM | MR | Zbl

[10] H. Whitney, Topology of differentiable Manifolds, Michigan Lectures, pp. 101-141. | MR | Zbl

[11] W. T. Wu, Sur les classes caractéristiques des structures fibrées sphériques, Act. Sci. et Ind., n° 1183. | MR | Zbl

[12] W. T. Wu, On squares in Grassmannian Manifolds, Acta Scientia Sinica, Vol II, pp. 91-115. | MR | Zbl