Sur les fonctions moyenne-périodiques bornées
Annales de l'Institut Fourier, Volume 7 (1957), p. 293-314

Dans la première partie, introductive, on donne quelques propriétés simples des fonctions et distributions m.p. bornées, et on indique leur rapport avec les fonctions presque-périodiques. Dans la seconde, on étudie successivement dans les espaces C (fonctions continues), E 2 (fonctions localement L 2 ) et 𝒟 (distributions), les éléments pseudo-périodiques : ce sont ceux dont l’espace engendré par les translatés ne contient que des éléments bornés ; la théorie des fonctions E 2 -pseudo-périodiques – due à Paley-Wiener – est reprise et complétée jusqu’au calcul explicite de la pseudo-période (=2πΔ, Δ étant la densité supérieure de répartition du spectre). Dans la troisième partie, on étudie certaines conditions pour qu’une f m.p. bornée ait sa série de Fourier absolument convergente : il suffit qu’elle soit égale à une fonction de la classe A sur un intervalle de longueur supérieure à 2πΔ ; il suffit encore que son spectre ait des propriétés convenables.

@article{AIF_1957__7__293_0,
     author = {Kahane, Jean-Pierre},
     title = {Sur les fonctions moyenne-p\'eriodiques born\'ees},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {7},
     year = {1957},
     pages = {293-314},
     doi = {10.5802/aif.72},
     zbl = {0083.34401},
     mrnumber = {21 \#1489},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1957__7__293_0}
}
Kahane, Jean-Pierre. Sur les fonctions moyenne-périodiques bornées. Annales de l'Institut Fourier, Volume 7 (1957) pp. 293-314. doi : 10.5802/aif.72. http://www.numdam.org/item/AIF_1957__7__293_0/

[1] L. Schwartz, Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques, Annals of Math. 48 (1947), pp. 857-929. | MR 9,428c | Zbl 0030.15004

[2] J.-P. Kahane, Sur quelques problèmes d'unicité et de prolongement. Ann. Inst. Fourier V (1953-1954), pp. 39-130. | Numdam | Zbl 0064.35903

[3] L. Schwartz, Théorie des distributions, tomes I et II, Hermann, 1950-1951.

[4] R. Paley et N. Wiener, Fourier transforms in the complex domain, A.M.S. Colloquium publications, 1934. | Zbl 0011.01601

[5] S. Banach, Théorie des opérations linéaires, Mon. Mathe., 1932. | Zbl 0005.20901

[6] B. Lévine, Fonctions de degré fini, bornées sur une suite de points (en russe) Dokladi A. N., S.S.S.R., 65 (1949), p. 265.

[7] R.P. Boas, Entire functions, Academic Press, 1954. | MR 16,914f | Zbl 0058.30201

[8] J.-P. Kahane et R. Salem, Sur les ensembles linéaires ne portant pas de pseudomesures, etc., Comptes Rendus, 243 (1956) p. 1185-1187, 1706-1708, 1986-1988. | MR 18,651f | Zbl 0073.28401

[9] S. Mandelbrojt, Séries de Fourier et classes quasi-analytiques de fonctions, Gauthier-Villars, 1935. | JFM 61.1117.05 | Zbl 0013.11006

[10] P. B. Kennedy, Fourier series with gaps, Quart. Journal of Math. Oxford (1956), p. 224-230. | MR 20 #4733 | Zbl 0096.04602

[11] P. Turan, On the gap theorem of Fabry, Hung. Acta Math. (1947), p. 21-29. | MR 9,276e | Zbl 0029.39302

[12] A. Zygmund, Quelques théorèmes sur les séries trigonométriques..., Studia Math., III (1931) p. 77-91. | JFM 57.0317.02 | Zbl 0003.25301

[13] J.-P. Kahane, Généralisation d'un théorème de Bernstein, Bull. Soc. Math. France, 1957. | Numdam | MR 19,1050c | Zbl 0078.25503

[14] S. B. Stetchkin, Sur la convergence absolue des séries de Fourier (en russe), Izvestia A.N., S.S.S.R., 1956, p. 385-412.

[15] A. E. Ingham, Some trigonometrical inequalities..., Math. Zeitschr., 41 (1936), pp. 367-379. | JFM 62.0225.01 | Zbl 0014.21503