Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen

Dold, Albrecht; Puppe, Dieter

Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 201-312.

Dans ce travail la théorie des foncteurs dérivés (connue pour les foncteurs additifs) est généralisée aux foncteurs arbitraires (non additifs). Pour obtenir cette généralisation on remplace les complexes de la théorie usuelle par des complexes semi-simpliciaux. Soient $\mathbf{U}$ et ${\mathbf{U}}^{\prime }$ deux catégories abéliennes, $T$ un foncteur covariant de $\mathbf{U}$ dans ${\mathbf{U}}^{\prime }$, $A$ un objet de $\mathbf{U}$ et $n$ un entier $\ge 0$. Alors on appelle résolution (semi-simpliciale) de $(A,n)$ un “objet semi-simplicial” $X$ sur $\mathbf{U}$ muni d’un isomorphisme $H_n\left(X\right)\cong A$ et tel que $X_q=0$ pour $q<n$, $H_q\left(X\right)=0$ pour $q>n$. Si de plus $X_q$ est un objet projectif de $\mathbf{U}$ pour tout $q$, on pose $L_{q}T(A,n)=H_{q}TX$. Supposant que tout objet de $\mathbf{U}$ soit isomorphe à un quotient d’un objet projectif on prouve que $L_{q}T(,n)$ est un foncteur covariant de $\mathbf{U}$ dans ${\mathbf{U}}^{\prime }$ (dérivé gauche de $T$). Si $T$ est additif, le foncteur $L_{q}T(,n)$ ne dépend que de $q-n$ et coïncide avec $L_{q-n}T$, dérivé gauche de $T$ au sens usuel. Si $\mathbf{U}={\mathbf{U}}^{\prime }$ est la catégorie des groupes abéliens et $T\left(A\right)$ est l’anneau de groupe ou l’algèbre symétrique de $A$, $L_{q}T(A,n)$ est isomorphe au groupe $H_q(A,n,\mathbf{Z})$ d’Eilenberg-MacLane.

Soit alors $T\left(0\right)=0$ (sans autres restrictions pour $U,U^{\prime }$ et $T$). Pour tout objet semi-simplicial $X$ sur $\mathbf{U}$ on peut définir la suspension $SX$ et le morphisme suspension $\sigma :H_{q}TX\to H_{q+1}TSX$ qui donne en particulier

$$\sigma :L_{q}T(A,n)\to L_{q+1}T(A,n+1).$$

Le morphisme $\sigma$ peut être considéré comme une généralisation de la suspension dans les groupes d’Einlenberg-MacLane et ses propriétés principales sont les mêmes que dans ce cas spécial. (Les “éléments décomposables” sont annulés, l’image est primitive, $\sigma$ est un isomorphisme pour les “dimensions stables”, etc.). Les plus profondes de ces propriétés sont prouvées” d’Eilenberg-MacLane. Utilisant la catégorie duale de $\mathbf{U}$ resp. ${\mathbf{U}}^{\prime }$ on obtient immédiatement des définitions et résultats analogues pour un foncteur contravariant et pour les foncteurs dérivés droits.

Dans les applications nous considérons le foncteur produit tensoriel symétrique. Nous obtenons des résultats nouveaux pour les éléments décomposables resp. primitifs dans l’homologie des produits symétriques (d’un espace ou d’un complexe semi-simplicial) et des complexes d’Eilenberg-MacLane (§§ 10, 11) ainsi que d’autres résultats pour l’homologie et l’homotopie des produits symétriques (§ 12).

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