On spectral representation for selfadjoint operators. Expansion in generalized eigenelements
Annales de l'Institut Fourier, Volume 15 (1965) no. 2, pp. 537-574.

L’auteur reprend l’étude classique de la représentation spectrale d’un opérateur auto-adjoint A dans un espace de Hilbert . Il y ajoute des précisions nouvelles qui conduisent à la définition du projecteur infinitésimal P )λ) sur l’espace des vecteurs propres généralisés (λ) . Il obtient, par conséquent, des énoncés plus précis de bien des théorèmes classiques. Il introduit ensuite la notion de “A-expansibilité” d’un sous-ensemble S. Cette notion est appliquée à l’étude des espaces fonctionnels propres de Hilbert (avec un noyau reproduisant). En particulier, pour de tels espaces formés de fonctions analytiques de n variables complexes dans un domaine D, on obtient que pour tout opérateur auto-adjoint, les fonctions propres généralisées sont des fonctions analytiques dans D.

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Gerlach, Eberhard. On spectral representation for selfadjoint operators. Expansion in generalized eigenelements. Annales de l'Institut Fourier, Volume 15 (1965) no. 2, pp. 537-574. doi : 10.5802/aif.222. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.222/

[1] N. Aronszajn, Theory of reproducing kernels, Trans. Am. Math. Soc., 68, (1950), 337-404. | MR | Zbl

[2] Yu. M. Berezanskiĭ, On the expansion in eigenfunctions of selfadjoint operators, Ukr. Mat. Žurnal, 111, (1959), 16-24. (In Russian). | Zbl

[3] N. Dunford and J. Schwartz, Linear Operators. Part II: Spectral Theory. Selfadjoint Operators in Hilbert Space, Interscience (J. Wiley), New-York, 1963. | Zbl

[4] C. Foias, Décompositions intégrales des familles spectrales et semi-spectrales en opérateurs qui sortent de l'espace hilbertien, Acta Scient. Math. (Szeged), 20, (1959), 117-155. | MR | Zbl

[5] C. Foias, Décompositions en opérateurs et vecteurs propres. I. Études de ces décompositions et leurs rapports avec les prolongements des opérateurs, Revue de math. pures et appl., 7, (1962), 241-282.— II. Éléments de théorie spectrale dans les espaces nucléaires, Revue math. pur. appl., 7, (1962), 571-602. | MR | Zbl

[6] H. Hahn, Uber die Integrale des Herrn Hellinger und die Orthogonalinvarianten der quadratischen Formen von unendlich vielen Veränderlichen, Monats h. für Math. und Physik, 23, (1912), 161-224. | JFM

[7] E. Hellinger, Neue Begründung der Theorie quadratischer Formen von unendlich vielen Veränderlichen, J. reine angew. Math., 136, (1909), 210-271. | JFM

[8] G. I. Kac, Generalized elements of Hilbert space, Ukr. Mat. Ž., 121, (1960), 13-24. (In Russian).

[9] G. I. Kac, Spectral decompositions of selfadjoint operators relative to generalized elements of Hilbert space, Ukr. Mat. Ž., 134, (1960), 13-33. (In Russian).

[10] G. I. Kac, Generalized functions on a locally compact group and decompositions of unitary representations, Trudy Moskov. Mat. Obščestva, 10, (1961), 3-40. (In Russian).

[11] K. Maurin, Spektraldarstellung der Kerne. Eine Verallgemeinerung der Sätze von Källén-Lehmann und Herglotz-Bochner u.a, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. sci. math. astr. phys., 7, (1959), 461-470. | MR | Zbl

[12] K. Maurin, Allgemeine Eigenfunktionsentwicklungen. Spektraldarstellung der Kerne. Eine Verallgemeinerung der Distributionen auf Lie'sche Gruppen, ibid., 7, (1959), 471-479. | MR | Zbl

[13] K. Maurin, Abbildungen vom Hilbert-Schmidtschen Typus und ihre Anwendungen, Math. Scand., 9, (1961), 359-371. | MR | Zbl

[14] H. Meschkowski, Hilbertsche Räume mit Kernfunktion, Springer Verlag, Berlin, 1962 (Grundlehren der math. Wissenschaften..., Band 113). | MR | Zbl

[15] J. Von Neumann, On rings of operators. Reduction theory, Ann. of Math., (2), 50, (1949), 401-485. | MR | Zbl

[16] M. H. Stone, Linear transformations in Hilbert space, Am. Math. Soc. Colloquium Publications, vol. XV, 1932. | JFM | Zbl

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