Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus
Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 1, pp. 305-359.

On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme

- i u x i + j a i j u x i + d j u + i b i u x i + c u = 0

les propriétés démontrées dans le cas d i =b i =c=0 : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction εW 0 1,2  ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions surharmoniques εW 0 1,2 ou W loc 1,2 ainsi qu’une caractérisation des potentiels εW 0 1,2 qui sont les potentiels d’énergie finie.

L’étude est ici compliquée par le fait que la forme bilinéaire associée à l’opérateur n’est pas en général coercive, de sorte que les méthodes utilisées dans le cas d i =b i =c=0 ne s’appliquent plus.

Local solutions and supersolutions of an elliptic equation

- i u x i + j a i j u x i + d j u + i b i u x i + c u = 0

are shown to enjoy the same properties as in the case d i =b i =c=0, namely: local solutions are a system of harmonic functions satisfying Brelot’s axioms, with superharmonic functions coinciding a.e. with local supersolutions; a maximum principle holds for subharmonic functions majorized by functions in εW 0 1,2 ; the class of superharmonic functions in εW 0 1,2 or W loc 1,2 is stable by sweeping out; finally those potentials which belong to εW 0 1,2 are characterized by finite energies. The main difficulty lies in the fact that the bilinear form Lu,ν is not coercive in general, which implies the failure of the methods used in the case d i =b i =c=0.

@article{AIF_1969__19_1_305_0,
     author = {Herv\'e, Rose-Marie and Herv\'e, Michel},
     title = {Les fonctions surharmoniques associ\'ees \`a un op\'erateur elliptique du second ordre \`a coefficients discontinus},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {305--359},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {19},
     number = {1},
     year = {1969},
     doi = {10.5802/aif.320},
     mrnumber = {41 #5647},
     zbl = {0176.09801},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.320/}
}
TY  - JOUR
AU  - Hervé, Rose-Marie
AU  - Hervé, Michel
TI  - Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1969
SP  - 305
EP  - 359
VL  - 19
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.320/
DO  - 10.5802/aif.320
LA  - fr
ID  - AIF_1969__19_1_305_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Hervé, Rose-Marie
%A Hervé, Michel
%T Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1969
%P 305-359
%V 19
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.320/
%R 10.5802/aif.320
%G fr
%F AIF_1969__19_1_305_0
Hervé, Rose-Marie; Hervé, Michel. Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus. Annales de l'Institut Fourier, Tome 19 (1969) no. 1, pp. 305-359. doi : 10.5802/aif.320. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.320/

[1] M. Brelot, Sur l'allure des fonctions harmoniques et sous-harmoniques à la frontière, Math. Nachr., 4, (1950-1951), 298-307. | MR | Zbl

[2] M. Brelot, Lectures on Potential theory, Tata Institute of Fundamental Research, (1960). | MR | Zbl

[3] M. Brelot, Quelques propriétés et applications nouvelles de l'effilement, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Institut H. Poincaré, (1961-1962), n° 1c. | Numdam | Zbl

[4] H. Cartan, Théorie du potentiel newtonien, Bull. Soc. Math. France, 73, (1945), 74-106. | Numdam | MR | Zbl

[5] G. Choquet, Les noyaux réguliers en théorie du potentiel, C.R. Acad. Sc. Paris, 243, (1956), 635. | MR | Zbl

[6] J. Deny, Les potentiels d'énergie finie (thèse), Acta Math., 82, (1950), 103-183. | MR | Zbl

[7] J. Deny et J.L. Lions, Les espaces du type de Beppo Levi, Ann. Inst. Fourier, 5, (1953-1954), 305-370. | Numdam | MR | Zbl

[8] R.M. Hervé, Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel (thèse), Ann. Inst. Fourier 12, (1962), 415-571. | Numdam | MR | Zbl

[9] R.M. Hervé, Un principe du maximum pour les sous-solutions locales d'une équation uniformément elliptique de la forme Lu = — ∑i ∂/∂xi (∑j aij ∂u/∂xj) = 0, Ann. Inst. Fourier, 14, fasc. 2, (1964), 493-508. | Numdam | MR | Zbl

[10] R.M. Hervé, Quelques propriétés des fonctions surharmoniques associées à une équation uniformément elliptique de la forme Lu = — ∑i ∂/∂xi (∑j aij ∂u/∂xj) = 0, Ann. Inst. Fourier, 15, fasc. 2, (1965), 214-224. | Numdam | MR | Zbl

[11] R.M. Hervé, Quelques propriétés des sursolutions et sursolutions locales d'une équation uniformément elliptique de la forme Lu = — ∑i ∂/∂xi (∑j aij ∂u/∂xj) = 0, Ann. Inst. Fourier, 16, fasc. 2, (1966), 241-267. | Numdam | MR | Zbl

[12] G. Stampacchia, Formes bilinéaires coercives sur les ensembles convexes, C.R. Acad. Sc. Paris, 258, (1964), p. 4413. | MR | Zbl

[13] G. Stampacchia, Séminaire sur les équations aux dérivées partielles, Collège de France, Novembre 1963-Mai 1964. | Numdam

[14] G. Stampacchia, Le problème de Dirichlet pour les équations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus, Ann. Inst. Fourier, 15, fasc. 1, (1965), p. 189-258. | Numdam | MR | Zbl

Cité par Sources :