Le problème de Riemann Hilbert sur une variété analytique complexe
Annales de l'Institut Fourier, Volume 19 (1969) no. 2, p. 1-32

The Riemann Hilbert problem for a complex manifold V is the following: Let A be an analytic subset of V of codimension one at each of its point-sand χ be a representation of Π 1 (V-A) into the linear group Gl (n,C. Does there exists a Pfaffian system of Fuchs type whose monodromy is the class of the representation χ?

It is proved that if V is a contractile Stein manifold and if the irreducible components of A are without singularities and in general position then the Riemann-Hilbert problem admits a solution.

Le problème de Riemann-Hilbert sur une variété complexe V s’énonce de la manière suivante : soit A un sous-ensemble analytique de V de codimension un en chacun de ses points et χ une représentation de Π 1 (V-A) dans Gl (n,C. Existe-t-il un système de Pfaff df=ωf du type de Fuchs où ωΩ nXn (V,A) (J. de Math. Pures et Appl., 47, (1968)) dont la monodromie soit la classe de la représentation χ ?

On montre en particulier que si V est une variété de Stein contractile et si les composantes irréductibles de A sont sans singularités et en position générale, le problème de Riemann-Hilbert admet une solution.

@article{AIF_1969__19_2_1_0,
     author = {G\'erard, R.},
     title = {Le probl\`eme de Riemann Hilbert sur une vari\'et\'e analytique complexe},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {19},
     number = {2},
     year = {1969},
     pages = {1-32},
     doi = {10.5802/aif.321},
     zbl = {0176.08701},
     mrnumber = {43 \#7660},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1969__19_2_1_0}
}
Gérard, R. Le problème de Riemann Hilbert sur une variété analytique complexe. Annales de l'Institut Fourier, Volume 19 (1969) no. 2, pp. 1-32. doi : 10.5802/aif.321. http://www.numdam.org/item/AIF_1969__19_2_1_0/

[1] R. Gérard, Théorie de Fuchs sur une variété analytique complexe (Thèse), Journal de Math. pures et appliquées, 47 (1968), 321 à 404. | MR 39 #4433 | Zbl 0164.11204

[2] R. Gérard, C.R. Acad. Sci., Paris, t. 264, 1133-1136 (19 juin 1967). | Zbl 0185.15301

[3] H. Rohrl, Das Riemann Hilbert Problem der Theorie des linearen Differentialgleichungen, Math. Ann., Bd. 133 (1957). | Zbl 0088.06001

[4] H. J. Nastold, Uber meromorpher Schnitte complex-analytischer Vektorraumbündel und Anwendungen auf Riemannschen Klassen, Math. Zeitschr., Bd 69 (1958). | MR 22 #5986 | Zbl 0081.07402

[5] N. Steenrod, The topology of fibre bundles, Princeton University Press (1951). | MR 12,522b | Zbl 0054.07103

[6] H. Cartan, Séminaire E.N. 2e année, 1949-1950, Espaces fibrés et homotopie.

[7] H. Grauert, Analytischer Faserungen über holomorph-vollständigen Räumen, Math. Ann., Bd 135 (1958). | MR 20 #4661 | Zbl 0081.07401

[8] E. Picard, Sur une extension aux fonctions de deux variables du problème de Riemann relatif aux fonctions hypergéométriques, Ann. de l'Ecole Normale Supérieure, 2e série, t. X (1881) et C.R. Acad. Sci., t. X (1881) et C.R. Acad. Sci., t. XC (1880), p. 1267. | JFM 13.0389.01 | Numdam