Étude des coefficients de Fourier des fonctions de L p (G)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, p. 335-402
On étudie la décroissance à l’infini des coefficients de Fourier des fonctions 2π-périodiques intégrables. Soit en particulier λ n une suite lacunaire d’entiers : λ n+1 3λ n . On appelle suite k-lacunaire associée la suite μ N k des entiers qui s’écrivent sous la forme ±λ n 1 ±λ n 2 ±±λ n k , n 1 >n 2 >>n k . On montre que si 0 2π |f|( Log + |f|) k/2 dx est fini, il en est de même de N |f ^(μ N k )| 2 . D’autre part, si λ n satisfait à une condition plus restrictive, quel que soit 1<p2, si 0 2π |f| p dx est fini il en est de même de k (p-1) N |f ^(μ N k )| 2 . Ces résultats sont généralisés à d’autres groupes que R/2πZ, et à d’autres situations. On montre enfin une dernière propriété des séries k-lacunaires : toute série k-lacunaire qui converge sur un ensemble de mesure positive est la série de Fourier d’une fonction de carré sommable.
We study the decrease at infinity of the Fourier coefficients of 2π-periodic integrable functions. Let λ n be a lacunary sequence of integers: λ n+1 3λ n : the associated k-lacunary sequence is defined to be the sequence μ N k of integers which can be written as ±λ n 1 ±λ n 2 ±±λ n k , n 1 >n 2 >>n k . It is shown that if 0 2π |f|( Log + |f|) k/2 dx is finite, then N |f ^(μ N k )| 2 is finite. If λ n satisfies a more restrictive condition, then for every p, 1<p2, it is shown that if 0 2π |f| p dx is finite, then k (p-1) N |f ^(μ N k )| 2 is finite. These results are generalized to other groups besides R/2πZ, and to other situations. It is also shown that every k lacunary sequence which converges in a set of positive measure is the Fourier series of a square summable function.
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Bonami, Aline. Étude des coefficients de Fourier des fonctions de $L^p(G)$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, pp. 335-402. doi : 10.5802/aif.357. https://www.numdam.org/item/AIF_1970__20_2_335_0/

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