Étude des coefficients de Fourier des fonctions de L p (G)
Annales de l'Institut Fourier, Volume 20 (1970) no. 2, p. 335-402

We study the decrease at infinity of the Fourier coefficients of 2π-periodic integrable functions. Let λ n be a lacunary sequence of integers: λ n+1 3λ n : the associated k-lacunary sequence is defined to be the sequence μ N k of integers which can be written as ±λ n 1 ±λ n 2 ±±λ n k , n 1 >n 2 >>n k . It is shown that if 0 2π |f|( Log + |f|) k/2 dx is finite, then N |f ^(μ N k )| 2 is finite. If λ n satisfies a more restrictive condition, then for every p, 1<p2, it is shown that if 0 2π |f| p dx is finite, then k (p-1) N |f ^(μ N k )| 2 is finite. These results are generalized to other groups besides R/2πZ, and to other situations. It is also shown that every k lacunary sequence which converges in a set of positive measure is the Fourier series of a square summable function.

On étudie la décroissance à l’infini des coefficients de Fourier des fonctions 2π-périodiques intégrables. Soit en particulier λ n une suite lacunaire d’entiers : λ n+1 3λ n . On appelle suite k-lacunaire associée la suite μ N k des entiers qui s’écrivent sous la forme ±λ n 1 ±λ n 2 ±±λ n k , n 1 >n 2 >>n k . On montre que si 0 2π |f|( Log + |f|) k/2 dx est fini, il en est de même de N |f ^(μ N k )| 2 . D’autre part, si λ n satisfait à une condition plus restrictive, quel que soit 1<p2, si 0 2π |f| p dx est fini il en est de même de k (p-1) N |f ^(μ N k )| 2 . Ces résultats sont généralisés à d’autres groupes que R/2πZ, et à d’autres situations. On montre enfin une dernière propriété des séries k-lacunaires : toute série k-lacunaire qui converge sur un ensemble de mesure positive est la série de Fourier d’une fonction de carré sommable.

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Bonami, Aline. Étude des coefficients de Fourier des fonctions de $L^p(G)$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 20 (1970) no. 2, pp. 335-402. doi : 10.5802/aif.357. http://www.numdam.org/item/AIF_1970__20_2_335_0/

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[6] W. Rudin, Trigonometric series with gaps, J. of Math. and Mech., 9, p. 203. | MR 22 #6972 | Zbl 0091.05802

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[8] M. Schreiber, Fermeture en probabilité des chaos de Wiener, C.R. Acad. Sci., tome 265, p. 859. | MR 36 #5996 | Zbl 0157.24503

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