This article concerns a new method of extension of a Radon measure , to a space of scalar functions , and the detailed study of this extension. The essential tool is the “semi-variation” of in the case where is a normed space, a concept that has it’s origin in the set theoretic semi-variation of Bartle, Dunford and Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), as well as in the essential superior integral of Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) of which this “semi-variation” is a generalisation. Conditions for the validity of the usual convergence theorems are given and a characterisation is given of the spaces such that an arbitrary Radon measure satisfies this condition . Orlicz theorem and new generalisations of it (Appendice II) are applied to obtain caracterisations of in terms of scalarly -integrable functions. The spaces for which any scalarly -integrable function is -integrable are characterised , which establishes a connection between (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) and (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application is made to the study of bi-measures leading to improvements of certain results of Morse and Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). The integration of vector-valued functions with respect to vector-valued measures is also considered, as well as the tensor product of two vector-valued measures.
Cet article concerne une méthode nouvelle de prolongement d’une mesure de Radon , à un espace de fonctions scalaires , et l’étude détaillée de ce prolongement. L’outil essentiel est la “semi-variation” associée à dans le cas où est un espace normé, une notion qui a son origine à la fois dans la semi-variation ensembliste de Bartle, Dunford et Schwartz (Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305), (New York, London, Interscience Publishers, 1958), et dans l’intégrale supérieure essentielle de Bourbaki (2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965) dont la “semi-variation” est une généralisation. On examine les conditions de validité des théorèmes de convergence usuels et l’on caractérise les espaces tels que ces conditions sont vérifiées pour une mesure de Radon arbitraire. Le théorème d’Orlicz et des généralisations nouvelles de ce théorème sont appliqués pour obtenir des caractérisations de en termes de fonctions scalairement -intégrales. On caractérise les espaces pour lesquels toute fonction scalairement -intégrable est -intégrable, établissant ainsi un lien entre (R.G. Bartle, N. Dunford and J. Schwartz, Canad. J. of Math., t. 7 (1955), 289-305) et (Nicolas Bourbaki, 2e édition, 5, 6. Paris, Hermann, 1956, 1965). Application est faite à l’étude des bi-mesures ce qui permet d’améliorer certains résultats de Morse et Transue (Annals of Mathematics, vol. 64, no 3 (1956)). On considère l’intégration de fonctions vectorielles par rapport à une mesure de Radon vectorielle et l’on aborde l’étude du produit tensoriel de deux mesures vectorielles.
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Thomas, Erik. L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle. Annales de l'Institut Fourier, Volume 20 (1970) no. 2, pp. 55-191. doi : 10.5802/aif.352. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.352/
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