Homotopie et holonomie de certains feuilletages de co-dimension 1
Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 2, p. 61-71

In this paper, we study the transversaly orientable foliations, of codimension 1 and class C r , r2, on a manifold M, such that there is no null-homotopic closed transversal. If i F is the inclusion of the leaf F in M, (i F ) * the induced map between the fundamental groups, and ϕ F and anti-representation of holonomy for F, then this condition is equivalent to the following: Ker (i F ) * Ker ϕ F forallF. We prove: If M n is a manifold with a fundamental group containing a cyclic subgroup of finite index and a codimension 1 foliation on M n then:

i) If the preceding conditions are satisfied by , a leaf with non zero holonomy is closed.

ii) If (i F ) * is one to one, for all F, a leaf intersected by a closed transversal has a finite fundamental group.

iii) If n=3 and M is compact, has a compact leaf.

Dans cet article nous étudions les feuilletages, transversalement orientables, de codimension 1 et classe C r , r2, qui n’admettent aucune transversale fermée nulle-homotope. Si i F est l’inclusion de la feuille F, (i F ) * l’application induite sur les groupes fondamentaux, et ϕ F une antireprésentation d’holonomie de F, alors cette condition est équivalente à la suivante :

Ker (iF)* Ker ϕFpourtoutefeuilleF.

Résultats : Si M n est une variété dont le groupe fondamental contient un sous-groupe cyclique d’indice fini, et si est un feuilletage de codimension 1 de M n on a :

i) Si satisfait aux conditions énumérées ci-dessus, toute feuille, dont l’holonomie est non zéro, est fermée.

ii) Si (i F ) * est injectif, pour tout F, toute feuille coupée par une transversale fermée possède un groupe fondamental fini.

iii) Si n=3 et M est compacte, possède une feuille compacte.

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Garançon, Maurice. Homotopie et holonomie de certains feuilletages de co-dimension 1. Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 2, pp. 61-71. doi : 10.5802/aif.412. http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_2_61_0/

[1] M. Garançon, Le rang de certaines variétés closes, Annales de l'institut Fourier, Tome XX, Fasc. 1 (1970). | Numdam | MR 42 #1142 | Zbl 0187.20402

[2]' A. Haefliger, Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes, Commentarii Mathematici Helvetici, Vol. 32 (1958). | MR 20 #6702 | Zbl 0085.17303

[3] A. Haefliger, Variétés feuilletées, Annal. della Scuola Normale Superiore di Pisa, III, XVI (1962). | Numdam | Zbl 0122.40702

[4] C. Lamoureux, Feuilletages de codimension 1. Holonomie et homotopie, C.R. Académie des Sciences, Tome 270, N° 26 (Juin 1970). | MR 43 #4059 | Zbl 0203.25801

[5]' G. Reeb, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Actualités Scientifiques et industrielles, Hermann, Paris (1952). | MR 14,1113a | Zbl 0049.12602

[6] D. Tischler, On fibering certain foliated manifolds overs S1 Topology, Vol. 9, N° 2 (1970). | MR 41 #1069 | Zbl 0177.52103