Régularité des solutions d'une équation parabolique non linéaire avec des contraintes unilatérales sur la frontière
Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, p. 161-192

Regularity results (${L}^{\infty }$ and Hölder) for solutions of a parabolic inequality are given; this parabolic inequality is a weak formulation of the problem

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}-\sum _{i=1}^{N}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}{B}_{i}\left(x,t,u,\nabla u\right)+{B}_{0}\left(x,t,u,\nabla u\right)=0\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{on}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\Omega ×\right]0,T\left[;\hfill \\ u\ge 0,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{B}}\ge 0,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{B}}=0\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{on}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\partial \Omega ×\right]0,T\left[;\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}u\left(x,0\right)={u}_{0}\left(x\right)\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{on}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\Omega .\hfill \end{array}\right\$

On démontre des résultats de régularité ${L}^{\infty }$ et höldérienne pour la solution d’une inéquation parabolique, formulation faible du problème suivant :

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}-\sum _{i=1}^{N}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}}{B}_{i}\left(x,t,u,\nabla u\right)+{B}_{0}\left(x,t,u,\nabla u\right)=0\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{dans}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\Omega ×\right]0,T\left[;\hfill \\ u\ge 0,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{B}}\ge 0,\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\frac{\partial u}{\partial {\nu }_{B}}=0\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{dans}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\partial \Omega ×\right]0,T\left[;\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}\phantom{\rule{3.33333pt}{0ex}}u\left(x,0\right)={u}_{0}\left(x\right)\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{dans}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\Omega .\hfill \end{array}\right\$

@article{AIF_1972__22_4_161_0,
author = {Beirao Da Veiga, Hugo and Dias, Joao Paulo},
title = {R\'egularit\'e des solutions d'une \'equation parabolique non lin\'eaire avec des contraintes unilat\'erales sur la fronti\ere},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
publisher = {Imprimerie Durand},
volume = {22},
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pages = {161-192},
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Beirao Da Veiga, Hugo; Dias, Joao Paulo. Régularité des solutions d'une équation parabolique non linéaire avec des contraintes unilatérales sur la frontière. Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, pp. 161-192. doi : 10.5802/aif.437. http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_4_161_0/`

[1] H. Beirão Da Veiga, Sur la régularité des solutions de l'équation div A(x, u, ▽) = B(x, u, ▽u) avec des conditions aux limites unilatérales et mêlées, à paraître dans les Annali Mat. Pura Appl. | Zbl 0278.35023

[2] H. Beirão Da Veiga et J. P. Dias, Continuité des solutions d'une inéquation parabolique, C.R. Acad. Sc. Paris, 274 (1972), 192-193. | MR 45 #5538 | Zbl 0225.35055

[3] H. Brézis, Problèmes unilatéraux, à paraître dans le J. Math. Pures Appl. | Zbl 0237.35001

[4] E. De Giorgi, Sulla differenziabilita e l'analiticita delle estremali degli integrali multiple regolari, Mem. Acc. Sci. Torino, 3 (1957), 25-43. | MR 20 #172 | Zbl 0084.31901

[5] J. P. Dias, Une classe de problèmes variationnels non linéaires de type elliptique ou parabolique, à paraître dans les Annali. Mat. Pura Appl. | Zbl 0241.35032

[6] O. A. Ladyženskaja, V. A. Solonnikov and N. N. Ural'Ceva, "Linear and quasi-linear equations of parabolic type", Transl. Math. Monographs, Am. Math. Soc., 1968. | Zbl 0174.15403

[7] J. L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod et Gauthier-Villars, Paris, 1969. | Zbl 0189.40603

[8] J. L. Lions and G. Stampacchia, Variational inequalities, Comm. Pure Appl. Math., 20 (1967), 493-519. | MR 35 #7178 | Zbl 0152.34601

[9] J. Nash, Continuity of the solutions of parabolic and elliptic equations, Am. J. Math., 80 (1958), 931-954. | MR 20 #6592 | Zbl 0096.06902