Intégrales de résolvantes et calcul symbolique

Hirsch, Francis

Hirsch, Francis

Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, p. 239-264

Abstract
Résumé

Let $f$ be a Stieltjes transform. If $H_{f}$ is an extension to $(C ∖ R^{*} \cup {\infty})$ of $f (z^{- 1}$ , for every Banach space $X$ and every closed densely defined operator $V$ on $X$ with a resolvent set containing $R^{*}$ and satisfying the condition ${sup}_{λ > 0} ∥ (I + λ V)^{- 1} ∥ < \infty$ , we define on $X$ an operator $H_{f} (V)$ which has similar properties as $V$ . We show that $σ^{e} [H_{f} (V)] = H_{f} [σ^{e} (V)]$ (where $σ^{e}$ is the extended spectrum). Furthermore, the operator $H_{f}$ has excellent stability properties. For example, when $f \neq 0$ and $V$ is an abstract potential, $H_{f} (V)$ is an abstract potential also.

Soit $f$ une transformée de Stieltjes. Notant $H_{f}$ un prolongement de la fonction $f (z^{- 1})$ à $(C ∖ R^{*} \cup {\infty})$ , on définit, pour tout espace de Banach $X$ et pour tout opérateur $V$ sur $X$ qui soit de domaine dense, fermé, d’ensemble résolvant contenant $R^{*}$ et qui vérifie ${sup}_{λ > 0} ∥ (I + λ V)^{- 1} ∥ < \infty$ , un opérateur $H_{f} (V)$ qui est un opérateur sur $X$ de même nature que $V$ . On montre que l’on a $σ^{e} [H_{f} (V)] = H_{f} [σ^{e} (V)]$ (où $σ^{e}$ désigne le spectre étendu). En outre, l’opération $H_{f}$ a d’excellentes propriétés de stabilité. En particulier, si $f \neq 0$ et si $V$ est un potentiel abstrait, $H_{f} (V)$ est un potentiel abstrait.

MR 51 #3958 | Zbl 0235.47007 | 3 citations in Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.439

@article{AIF_1972__22_4_239_0,
     author = {Hirsch, Francis},
     title = {Int\'egrales de r\'esolvantes et calcul symbolique},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {22},
     number = {4},
     year = {1972},
     pages = {239-264},
     doi = {10.5802/aif.439},
     zbl = {0235.47007},
     mrnumber = {51 \#3958},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_4_239_0}
}

Hirsch, Francis. Intégrales de résolvantes et calcul symbolique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, pp. 239-264. doi : 10.5802/aif.439. http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_4_239_0/

References

[1] V. Balakrishnan, Fractional powers of closed operators and the semi-groups generated by them, Pacific J. Math., t. 10, 419-437, 1960. | Zbl 0103.33502

[2] J. Faraut, Semi-groupes de mesures complexes et calcul symbolique sur les générateurs infinitésimaux de semi-groupes d'opérateurs. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 20, 1970, Fasc. 1. | Numdam | MR 54 #8348 | Zbl 0188.19902

[3] E. Hille and R. S. Phillips, Functional Analysis and Semi-groups, Colloq. Publ. Amer. Math. Soc., Vol. XXXI, 1957. | MR 19,664d | Zbl 0078.10004

[4] F. Hirsch, Familles résolvantes, générateurs, cogénérateurs, potentiels. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 22, 1972, Fasc. 1. | Numdam | MR 51 #6490 | Zbl 0219.31015

[5] F. Hirsch, Intégrales de résolvantes, C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274, 1972, Série A, pp. 303-306. | MR 45 #4208 | Zbl 0224.31013

[6] M. Ito, Sur les sommes de noyaux de Dirichlet, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 271, 1970, Série A, pp. 937-940. | MR 42 #6271 | Zbl 0216.16605

[7] D. V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press. Princeton, 1946.

[8] K. Yosida, Functional analysis, Third Printing. Springer-Verlag. Berlin, (1971). | Zbl 0217.16001