Intégrales de résolvantes et calcul symbolique

Hirsch, Francis

doi:10.5802/aif.439

Hirsch, Francis

Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, p. 239-264

Abstract
Résumé

Let $f$ be a Stieltjes transform. If $H_{f}$ is an extension to $(C ∖ R^{*} \cup {\infty})$ of $f (z^{- 1}$ , for every Banach space $X$ and every closed densely defined operator $V$ on $X$ with a resolvent set containing $R^{*}$ and satisfying the condition ${sup}_{λ > 0} ∥ (I + λ V)^{- 1} ∥ < \infty$ , we define on $X$ an operator $H_{f} (V)$ which has similar properties as $V$ . We show that $σ^{e} [H_{f} (V)] = H_{f} [σ^{e} (V)]$ (where $σ^{e}$ is the extended spectrum). Furthermore, the operator $H_{f}$ has excellent stability properties. For example, when $f \neq 0$ and $V$ is an abstract potential, $H_{f} (V)$ is an abstract potential also.

Soit $f$ une transformée de Stieltjes. Notant $H_{f}$ un prolongement de la fonction $f (z^{- 1})$ à $(C ∖ R^{*} \cup {\infty})$ , on définit, pour tout espace de Banach $X$ et pour tout opérateur $V$ sur $X$ qui soit de domaine dense, fermé, d’ensemble résolvant contenant $R^{*}$ et qui vérifie ${sup}_{λ > 0} ∥ (I + λ V)^{- 1} ∥ < \infty$ , un opérateur $H_{f} (V)$ qui est un opérateur sur $X$ de même nature que $V$ . On montre que l’on a $σ^{e} [H_{f} (V)] = H_{f} [σ^{e} (V)]$ (où $σ^{e}$ désigne le spectre étendu). En outre, l’opération $H_{f}$ a d’excellentes propriétés de stabilité. En particulier, si $f \neq 0$ et si $V$ est un potentiel abstrait, $H_{f} (V)$ est un potentiel abstrait.

MR 51 #3958 | Zbl 0235.47007 | 3 citations in Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.439

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Hirsch, Francis. Intégrales de résolvantes et calcul symbolique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 22 (1972) no. 4, pp. 239-264. doi : 10.5802/aif.439. http://www.numdam.org/item/AIF_1972__22_4_239_0/

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