Dirichlet forms on symmetric spaces
Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 1, pp. 135-156.

Soient G un groupe localement compact et K un sous-groupe compact tels que l’algèbre L 1 (G) des fonctions biinvariantes et intégrables soit commutative. Nous présentons une caractérisation des formes de Dirichlet G-invariantes sur l’espace homogène G/K en utilisant l’analyse harmonique de L 1 (G) . Ceci étend des résultats de Ch. Berg, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Paris, 13e année 1969/70 et de J. Deny, Potential theory (C.I.M.E., I ciclo, Stresa), Ed. Cremonese, Rome, 1970. À toute forme de Dirichlet, G-invariante et non nulle, sur un espace symétrique G/K de type non compact et de rang un est associé un espace de Dirichlet régulier, et les potentiels d’énergie finie sont de carré intégrable, ce qui n’a pas lieu dans les espaces euclidiens.

Let G be a locally compact group and K a compact subgroup such that the algebra L 1 (G) of biinvariant integrable functions is commutative. We characterize the G-invariant Dirichlet forms on the homogeneous space G/K using harmonic analysis of L 1 (G) . This extends results from Ch. Berg, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Paris, 13e année 1969/70 and J. Deny, Potential theory (C.I.M.E., I ciclo, Stresa), Ed. Cremonese, Rome, 1970. Every non-zero G-invariant Dirichlet form on a symmetric space G/K of non compact type of rank one give rise to a regular Dirichlet space, and these potentials of finite energy are square integrable in contrast to euclidean space.

@article{AIF_1973__23_1_135_0,
     author = {Berg, Christian},
     title = {Dirichlet forms on symmetric spaces},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {135--156},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {23},
     number = {1},
     year = {1973},
     doi = {10.5802/aif.448},
     mrnumber = {52 #14340},
     zbl = {0243.31013},
     language = {en},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.448/}
}
TY  - JOUR
AU  - Berg, Christian
TI  - Dirichlet forms on symmetric spaces
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1973
SP  - 135
EP  - 156
VL  - 23
IS  - 1
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.448/
DO  - 10.5802/aif.448
LA  - en
ID  - AIF_1973__23_1_135_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Berg, Christian
%T Dirichlet forms on symmetric spaces
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1973
%P 135-156
%V 23
%N 1
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.448/
%R 10.5802/aif.448
%G en
%F AIF_1973__23_1_135_0
Berg, Christian. Dirichlet forms on symmetric spaces. Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 1, pp. 135-156. doi : 10.5802/aif.448. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.448/

[1] Chr. Berg, Suites définies négatives et espaces de Dirichlet sur la sphère, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Paris, 13e année 1969/1970. | Numdam | Zbl

[2] Chr. Berg, Semi-groupes de Feller et le théorème de Hunt, Preprint Series no, 12, Matematisk Institut, University of Copenhagen, 1971.

[3] J. Deny, Méthodes hilbertiennes en théorie du potentiel, Potential theory (C.I.M.E., I ciclo, Stresa), Ed. Cremonese, Rome, 1970. | MR | Zbl

[4] J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, Paris, 1964. | MR | Zbl

[5] M. Flensted-Jensen, Paley-Wiener type theorems for a differential operator connected with symmetric spaces, Arkiv för Matematik. Vol. 10 (1972) n° 1. | MR | Zbl

[6] R. Gangolli, Isotropic infinitely divisible measures on symmetric spaces, Acta Math. 111 (1964), 213-246. | MR | Zbl

[7] I. Glicksberg, Uniform boundedness for groups, Canad. J. Math. 14 (1962), 269-276. | MR | Zbl

[8] R. Godement, Sur la théorie des représentations unitaires, Ann. Math. 53 (1951), 68-124. | MR | Zbl

[9] R. Godement, Introduction aux travaux de A. Selberg, Séminaire Bourbaki, Paris 1957, exposé 144. | Numdam | Zbl

[10] Harish-Chandra, Spherical functions on a semi-simple Lie group II, Amer. J. Math. 80 (1958), 553-613. | MR | Zbl

[11] S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric spaces (Pure and Applied Mathematics 12), Academic Press, New York, London, 1962. | Zbl

[12] B. Kostant, On the existence and irreducibility of certain series of representations, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 627-642. | MR | Zbl

[13] K. Sato, T. Ueno, Multidimensional diffusion and the Markov process on the boundary, J. Math. Kyoto Univ. 4 (1965), 529-605. | MR | Zbl

Cité par Sources :