Dirichlet forms on symmetric spaces

Berg, Christian

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 1, pp. 135-156.

Soient $G$ un groupe localement compact et $K$ un sous-groupe compact tels que l’algèbre $L^1(G{)}^{♯}$ des fonctions biinvariantes et intégrables soit commutative. Nous présentons une caractérisation des formes de Dirichlet $G$-invariantes sur l’espace homogène $G/K$ en utilisant l’analyse harmonique de $L^1(G{)}^{♯}$. Ceci étend des résultats de Ch. Berg, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Paris, 13e année 1969/70 et de J. Deny, Potential theory (C.I.M.E., I ciclo, Stresa), Ed. Cremonese, Rome, 1970. À toute forme de Dirichlet, $G$-invariante et non nulle, sur un espace symétrique $G/K$ de type non compact et de rang un est associé un espace de Dirichlet régulier, et les potentiels d’énergie finie sont de carré intégrable, ce qui n’a pas lieu dans les espaces euclidiens.

Let $G$ be a locally compact group and $K$ a compact subgroup such that the algebra $L^1(G{)}^{♯}$ of biinvariant integrable functions is commutative. We characterize the $G$-invariant Dirichlet forms on the homogeneous space $G/K$ using harmonic analysis of $L^1(G{)}^{♯}$. This extends results from Ch. Berg, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Paris, 13e année 1969/70 and J. Deny, Potential theory (C.I.M.E., I ciclo, Stresa), Ed. Cremonese, Rome, 1970. Every non-zero $G$-invariant Dirichlet form on a symmetric space $G/K$ of non compact type of rank one give rise to a regular Dirichlet space, and these potentials of finite energy are square integrable in contrast to euclidean space.

[1] Chr. Berg, Suites définies négatives et espaces de Dirichlet sur la sphère, Séminaire Brelot-Choquet-Deny, Paris, 13e année 1969/1970. | Numdam | Zbl

[2] Chr. Berg, Semi-groupes de Feller et le théorème de Hunt, Preprint Series no, 12, Matematisk Institut, University of Copenhagen, 1971.

[3] J. Deny, Méthodes hilbertiennes en théorie du potentiel, Potential theory (C.I.M.E., I ciclo, Stresa), Ed. Cremonese, Rome, 1970. | MR | Zbl

[4] J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, Paris, 1964. | MR | Zbl

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