Spectral synthesis and the Pompeiu problem

Brown, L.; Schreiber, B.; Taylor, B. A.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 3, pp. 125-154.

On démontre que chaque sous-espace vectoriel fermé $V$ de $C\left({\mathbf{R}}^n\right)$ ou de $\mathbf{E}\left({\mathbf{R}}^n\right)$, $n\ge 2$, invariant par toutes les rotations et toutes les translations de ${\mathbf{R}}^n$ est un espace de synthèse spectrale, c’est-à-dire, $V$ est engendré par les exponentielles-polynômes qu’il contient. C’est un problème classique de déterminer toutes les mesures $\mu$ à support compact dans ${\mathbf{R}}^2$ qui possèdent la propriété suivante : (P) Si $f\in C\left({\mathbf{R}}^2\right)$ et ${\int }_{{\mathbf{R}}^2}f\circ \sigma d\mu =0$ quel que soit la transformation rigide $\sigma$ de ${\mathbf{R}}^2$, alors $f\equiv 0$. Comme application du résultat ci-dessus on caractérise ces mesures moyennant les transformées de Fourier-Laplace. Ce résultat et quelques estimations asymptotiques de la croissance des transformées de Fourier-Laplace le long de certaines courbes tendant vers l’infini montrent que, pour une classe assez grande de régions compactes de ${\mathbf{R}}^2$, les mesures de surface satisfont à la condition (P). Le théorème de synthèse spectrale implique aussi un théorème de Delsarte (deux cercles) se rapportant aux fonctions harmoniques et quelques résultats analogues au théorème de Morera.

It is shown that every closed rotation and translation invariant subspace $V$ of $C\left({\mathbf{R}}^n\right)$ or $\delta \left({\mathbf{R}}^n\right)$, $n\ge 2$, is of spectral synthesis, i.e. $V$ is spanned by the polynomial-exponential functions it contains. It is a classical problem to find those measures $\mu$ of compact support on ${\mathbf{R}}^2$ with the following property: (P) The only function $f\in C\left({\mathbf{R}}^2\right)$ satisfying ${\int }_{{\mathbf{R}}^2}f\circ \sigma d\mu =0$ for all rigid motions $\sigma$ of ${\mathbf{R}}^2$ is the zero function. As an application of the above result a characterization of such measures is obtained in terms of their Fourier-Laplace transforms. Using this characterization, along with asymptotic estimates of the growth of Fourier-Laplace transforms along certain curves, it is shown that property (P) is satisfied by the area measures on a large class of compact regions in the plane. The spectral synthesis theorem also implies Delsarte’s two circle theorem for harmonic functions and other results related to Morera’s converse of the Cauchy integral theorem.

[1] L. Brown, F. Schnitzer and A.L. Shields, A note on a problem of D. Pompeiu, Math. Zeitschr., 105 (1968), 59-61. | MR | Zbl

[2] C. Christov, Sur un problème de M. Pompeiu, Mathematica (Timisoara), 23 (1948), 103-107. | MR | Zbl

[3] C. Christov, Sur l'équation intégrale généralisée de M. Pompeiu, Annuaire Univ. Sofia Fac. Sci., Livre 1, 45 (1948-1949), 167-178.

[4] R.V. Churchill, Fourier Series and Boundary Value Problems, 2nd ed., McGraw-Hill, New York, 1963. | MR | Zbl

[5] J. Delsarte, Note sur une propriété nouvelle des fonctions harmoniques, C.R. Acad. Sci. Paris, 246 (1958), 1358-1360. | MR | Zbl

[6] J. Delsarte, Lectures on Topics in Mean Periodic Functions and the Two-Radius Theorem, Notes by K.B. Vedak, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1961.

[7] L. Ehrenpreis, Fourier Analysis in Several Complex Variables, Interscience, Wiley, New York, 1970. | MR | Zbl

[8] T.W. Gamelin, Uniform Algebras, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969. | MR | Zbl

[9] L. Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Grundl. der Math. Wiss., Band 116, Springer-Verlag and Academic Press, New York, 1963. | MR | Zbl

[10] L. Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, D. van Nostrand, New York, 1966. | MR | Zbl

[11] J.J. Kelleher and B.A. Taylor, Closed ideals in locally convex algebras of analytic functions, J. Reine Angew. Math., 255 (1972), 190-209. | EuDML | MR | Zbl

[12] B. Malgrange, Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 6 (1955-1956), 271-355. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[13] D. Pompeiu, Sur une propriété des fonctions continues dépendent de plusieurs variables, Bull. Sci. Math. (2), 53 (1929), 328-332. | JFM

[14] D. Pompeiu, Sur une propriété intégrale des fonctions de deux variables réelles, Bull. Sci. Acad. Royale Belgique (5), 15 (1929), 265-269. | JFM

[15] S.P. Ponomarev, On a condition for analyticity, Sibirskii Mat. Zh., 11 (1970), 471-474. | MR | Zbl

[16] W. Rudin, Fourier Analysis on Groups, Interscience, Wiley, New York, 1962. | MR | Zbl

[17] L. Schwartz, Théorie générale des fonctions moyennes-périodiques, Ann. of Math. (2), 48 (1947), 857-929. | MR | Zbl

[18] L. Schwartz, Théorie des distributions, 2nd. ed., Act. Scient. et Indust., No. 1091, Hermann, Paris, 1957. | Zbl

[19] L. Zalcman, Analyticity and the Pompeiu problem, Arch. Rational Mech. Anal., 47 (1972), 237-254. | MR | Zbl