Construction of the solutions of boundary value problems for the biharmonic operator in a rectangle

Aronszajn, Nachman; Brown, R. D.; Butcher, R. S.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 3, pp. 49-89.

Une méthode est développée pour la construction des solutions de l’équation ${\Delta }^{2}u=F$ dans $R=\left\{\right(x,y):|x|<a,|y|<b\}$, soumises aux conditions aux limites $u=\varphi$, $\frac{\partial u}{\partial n}=\psi$ sur $\partial R$. Le problème se réduit à celui de trouver la projection orthogonale $Pw$ de $w\in L^2\left(R\right)$ sur le sous-espace $\mathbf{H}\subset L^2\left(R\right)$ des fonctions harmoniques dans $R$. Ce dernier problème est résolu par la décomposition de $\mathbf{H}$ en somme directe (non orthogonale) de deux sous-espaces fermés ${\mathbf{H}}^{\left(1\right)},{\mathbf{H}}^{\left(2\right)}$ pour lesquels des bases orthonormées complètes sont connues explicitement. La projection $P$ est exprimée en termes des projections $P^{\left(i\right)}$, $i=1,2$, de $L^2\left(R\right)$ sur ${\mathbf{H}}^{\left(i\right)}$. Ceci permet d’établir une méthode d’approximation pour les solutions $u$ du problème original admettant des évaluations a priori et a posteriori (celle-ci très précise) de l’erreur. Dans un appendice des résultats numériques sont donnés concernant l’application de la méthode dans quelques cas concrets en utilisant l’évaluation a posteriori de l’erreur.

A technique is developed for constructing the solution of ${\Delta }^{2}u=F$ in $R=\left\{\right(x,y):|x|<a,|y|<b\}$, subject to boundary conditions $u=\varphi$, $\frac{\partial u}{\partial n}=\psi$ on $\partial R$. The problem is reduced to that of finding the orthogonal projection $Pw$ of $w$ in $L^2\left(R\right)$ onto the subspace $\mathbf{H}$ of square integrable functions harmonic in $\mathbf{R}$. This problem is solved by decomposition $\mathbf{H}$ into the closed direct (not orthogonal) sum of two subspaces ${\mathbf{H}}^{\left(1\right)},{\mathbf{H}}^{\left(2\right)}$ for which complete orthogonal bases are known. $P$ is expressed in terms of the projections $P^{\left(1\right)}$, $P^{\left(2\right)}$ of $L^2\left(R\right)$ onto ${\mathbf{H}}^{\left(1\right)}$, ${\mathbf{H}}^{\left(2\right)}$ respectively. The resulting construction yields an approximation technique with both a priori and a posteriori error bounds (the latter very precise). In a short appendix the numerical results are given of the application of the technique in some specific examples and the a posteriori error evaluated.

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[2] R. Adams, N. Aronszajn, and K.T. Smith, Theory of Bessel Potentials, Part II, Ann. Inst. Fourier Grenoble, v. 17, 1967, 1-135. | Numdam | MR | Zbl

[3] N. Aronszajn, Recherches sur les fonctions harmoniques dans un carré, Journ. de Math. Pures. et Appl., Neuvième série, 27 (1948), 87-175. | MR | Zbl

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[7] N. Aronszajn and G.H. Hardy, Properties of a class of double integrals, Ann. of Math., 46 (1945), 220-241. Errata to this paper, Ann. of Math., 47 (1946), p. 166. | MR | Zbl

[8] N. Aronszajn and K.T. Smith, Theory of Bessel Potentials, Part I, Ann. Inst. Fourier Grenoble, v. 11, 1961, 385-475. | Numdam | MR | Zbl

[9] N. Aronszajn and P. Szeptycki, Theory of Bessel Potentials, Part IV, to appear as a technical report.

[10] S. Timoshenko, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, New York, 1959.

[11] S. Zaremba, Le problème biharmonique restreint, Annales Ec. Norm. Sup., 26, 1909. | JFM | Numdam