Weakly semibounded boundary problems and sesquilinear forms

Grubb, Gerd

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 4, pp. 145-194.

Soit $A$ un opérateur différentiel d’ordre $2m$ dans un fibré vectoriel hermitien $E$ sur une variété riemannienne compacte $\overline{\Omega }$ à bord $\Gamma$, et soit $A_B$ la réalisation définie par une condition au bord différentielle normale $B\rho u=0$ ($u\in H^{2m}\left(E\right)$, $\rho u=$ données de Cauchy). On caractérise, par une condition explicite sur $A$ et $B$ près de $\Gamma$, les réalisations pour lesquelles il existe une forme intégro-différentielle sesquilinéaire $a_B(u,\nu )$ sur $H^m\left(E\right)$ telle que $(Au,\nu )=a_B(u,\nu )$ sur $D\left(A_B\right)$. On montre de plus que ces réalisations sont exactement celles qui satisfont à une inégalité de la forme : $\mathrm{Re}{e}^{i\theta }(Au,u)\le c\parallel u{\parallel }_m^2$ pour $u\in D\left(A_B\right)$. Les théorèmes sont complètement généralisés au cas d’un système $A=(A_{st}{)}_{s,t=1,...,q}$, où $A_{st}$ est d’ordre $m_s+m_r\ge 0$ (en introduisant de nouvelles conceptions). Les résultats sont importants dans l’étude des inégalités de coercivité (continuée ailleurs) et résolvent en particulier, avec les travaux d’Agmon et de de Figueiredo sur les formes intégro-différentielles, le problème de caractériser les réalisations elliptiques satisfaisant à l’inégalité de Garding.

Let $A$ be a $2m$ order differential operator in a hermitian vector bundle $E$ over a compact riemannian manifold $\overline{\Omega }$ with boundary $\Gamma$ ; and denote by $A_B$ the realization defined by a normal differential boundary condition $B\rho u=0$ ($u\in H^{2m}\left(E\right)$, $\rho u=$ Cauchy data). We characterize, by an explicit condition on $A$ and $B$ near $\Gamma$, the realizations $A_B$ for which there exists an integro-differential sesquilinear form $a_B(u,\nu )$ on $H^m\left(E\right)$ such that $(Au,\nu )=a_B(u,\nu )$ on $D\left(A_B\right)$; moreover we show that these are exactly the realizations satisfying a weak semiboundedness estimate: $\mathrm{Re}{e}^{i\theta }(Au,u)\le c\parallel u{\parallel }_m^2$ for all $u\in D\left(A_B\right)$. The theorems are generalized completely to systems $A=(A_{st}{)}_{s,t=1,...,q}$, where $A_{st}$ is of order $m_s+m_r\ge 0$; several new concepts are introduced here. The results are fundamental in the study of semiboundedness and coerciveness inequalities (continued elsewhere); in particular they provide the complete characterization of the elliptic realizations satisfying Garding’s inequality, in conjunction with the works of Agmon and de Figueiredo on integro-differential forms.

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