Weakly semibounded boundary problems and sesquilinear forms

Grubb, Gerd

doi:10.5802/aif.486

Grubb, Gerd

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 4, pp. 145-194.

Résumé
Abstract

Soit $A$ un opérateur différentiel d’ordre $2 m$ dans un fibré vectoriel hermitien $E$ sur une variété riemannienne compacte $\bar{Ω}$ à bord $Γ$ , et soit $A_{B}$ la réalisation définie par une condition au bord différentielle normale $B ρ u = 0$ ( $u \in H^{2 m} (E)$ , $ρ u =$ données de Cauchy). On caractérise, par une condition explicite sur $A$ et $B$ près de $Γ$ , les réalisations pour lesquelles il existe une forme intégro-différentielle sesquilinéaire $a_{B} (u, ν)$ sur $H^{m} (E)$ telle que $(A u, ν) = a_{B} (u, ν)$ sur $D (A_{B})$ . On montre de plus que ces réalisations sont exactement celles qui satisfont à une inégalité de la forme : $Re e^{i θ} (A u, u) \leq c ∥ u ∥_{m}^{2}$ pour $u \in D (A_{B})$ . Les théorèmes sont complètement généralisés au cas d’un système $A = (A_{s t})_{s, t = 1, ..., q}$ , où $A_{s t}$ est d’ordre $m_{s} + m_{r} \geq 0$ (en introduisant de nouvelles conceptions). Les résultats sont importants dans l’étude des inégalités de coercivité (continuée ailleurs) et résolvent en particulier, avec les travaux d’Agmon et de de Figueiredo sur les formes intégro-différentielles, le problème de caractériser les réalisations elliptiques satisfaisant à l’inégalité de Garding.

Let $A$ be a $2 m$ order differential operator in a hermitian vector bundle $E$ over a compact riemannian manifold $\bar{Ω}$ with boundary $Γ$ ; and denote by $A_{B}$ the realization defined by a normal differential boundary condition $B ρ u = 0$ ( $u \in H^{2 m} (E)$ , $ρ u =$ Cauchy data). We characterize, by an explicit condition on $A$ and $B$ near $Γ$ , the realizations $A_{B}$ for which there exists an integro-differential sesquilinear form $a_{B} (u, ν)$ on $H^{m} (E)$ such that $(A u, ν) = a_{B} (u, ν)$ on $D (A_{B})$ ; moreover we show that these are exactly the realizations satisfying a weak semiboundedness estimate: $Re e^{i θ} (A u, u) \leq c ∥ u ∥_{m}^{2}$ for all $u \in D (A_{B})$ . The theorems are generalized completely to systems $A = (A_{s t})_{s, t = 1, ..., q}$ , where $A_{s t}$ is of order $m_{s} + m_{r} \geq 0$ ; several new concepts are introduced here. The results are fundamental in the study of semiboundedness and coerciveness inequalities (continued elsewhere); in particular they provide the complete characterization of the elliptic realizations satisfying Garding’s inequality, in conjunction with the works of Agmon and de Figueiredo on integro-differential forms.

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DOI : 10.5802/aif.486

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Grubb, Gerd. Weakly semibounded boundary problems and sesquilinear forms. Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 4, pp. 145-194. doi : 10.5802/aif.486. https://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.486/

Bibliographie
Cité par

[1] S. Agmon, The coerciveness problem for integro-differential forms, J. Analyse Math., 6 (1958), 183-223. | MR | Zbl

[2] S. Agmon, A. Douglis and L. Nirenberg, Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, II, Comm. Pure Appl. Math., 17 (1964), 35-92. | MR | Zbl

[3] M. F. Atiyah, K-Theory, W. A. Benjamin, New York, 1967. | MR | Zbl

[4] G. Geymonat, Su alcuni problemi ai limiti per i sistemi lineari ellittici secondo Petrowsky, Le Matematiche, 20 (1965), 211-253. | MR | Zbl

[5] G. Grubb, A characterization of the non-local boundary value problems associated with an elliptic operator, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 22 (1968), 425-513. | Numdam | MR | Zbl

[6] G. Grubb, On coerciveness and semiboundedness of general boundary problems, Israel J. Math., 10 (1971), 32-95. | MR | Zbl

[7] G. Grubb, Problèmes aux limites semi-bornés pour les systèmes elliptiques, C.R. Acad. Sci. (Série A), 274 (1972), 320-323. | MR | Zbl

[8] G. Grubb, Properties of normal boundary problems for elliptic even-order systems, Copenh. Mat. Inst. Preprint Ser. 1973 no. 4, to appear.

[9] D. Guedes De Figueiredo, The coerciveness problem for forms over vector valued functions, Comm. Pure Appl. Math., 16 (1963), 63-94. | MR | Zbl

[10] L. Hörmander, Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary problems, Ann. of Math., 83 (1966), 129-209. | MR | Zbl

[11] J. L. Lions et E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications, vol. 1, Ed. Dunod, Paris, 1968. | Zbl

[12] R. Seeley, Fractional powers of boundary problems, Actes Congrès Intern., 1970, Nice, vol. 2, 795-801. | MR | Zbl

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