Le but de cet article est de démontrer deux conditions nécessaires de non existence d’ensemble minimal exceptionnel dans un feuilletage de codimension 1 d’une variété compacte . La première est métrique ; elle porte sur la croissance des feuilles et elle répond à une conjecture de Plante. La seconde est homotopique, elle porte sur les groupes fondamentaux de et des feuilles de .
De ces deux conditions, nous déduisons deux conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un feuilletage soit sans holonomie. Enfin, ces résultats sont appliqués dans deux cas particuliers :
les feuilletages d’une variété fibrée sur de fibre .
les feuilletages d’un fibré en cercle , transverses à la fibration.
The aim of this article is to prove two necessary conditions of non-existence of exceptional minimal set in a codimension one foliation on a compact manifold . The first one is about the growth of leaves, and gives an answer to a conjecture of Plante. The second one is about the fundamental groups of and leaves of .
From this two conditions, we deduce two necessary and sufficient conditions for a foliation to be without holonomy. Then these results are applied to the following cases:
foliation on a manifold fibred over , with .
foliation on the total space of a bundle with fiber , transverse to the fibration.
@article{AIF_1974__24_1_131_0, author = {Moussu, Robert and Pelletier, Fernand}, title = {Sur le th\'eor\`eme de {Poincar\'e-Bendixson}}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {131--148}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {24}, number = {1}, year = {1974}, doi = {10.5802/aif.495}, mrnumber = {50 #11266}, zbl = {0273.57008}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.495/} }
TY - JOUR AU - Moussu, Robert AU - Pelletier, Fernand TI - Sur le théorème de Poincaré-Bendixson JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1974 SP - 131 EP - 148 VL - 24 IS - 1 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.495/ DO - 10.5802/aif.495 LA - fr ID - AIF_1974__24_1_131_0 ER -
Moussu, Robert; Pelletier, Fernand. Sur le théorème de Poincaré-Bendixson. Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 1, pp. 131-148. doi : 10.5802/aif.495. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.495/
[1] Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore. Journal de Math. Vol. 11 (1932). | JFM | Numdam
,[2] Commuting diffeomorphisms - thèse (Université de Berkeley) (1967).
,[3] Sur les travaux de Milnor-Wolf - Séminaire Berger (1972).
,[4] A note on curvature and fundamental group, Journal of differential Geometry 2 (1968). | MR | Zbl
,[5] Sur les feuilletages de codimension 1 - thèse Orsay (1971).
,[6] Une condition suffisante pour qu'un feuilletage soit sans holonomie - Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Tome 271, Série A (1970) 240-243. | MR | Zbl
et ,[7] Relations de conjugaison et de cobordisme entre certains feuilletages (à paraître aux publications de l'I.H.E.S.). | Numdam | Zbl
et ,[8] Topology of foliations - Trudy Mark - Math. Obsch - Vol. 14. (1965). | MR | Zbl
,[9] Asymptotic properties of foliations (à paraître dans commentarii Math. Hel). | Zbl
,[10] A generalisation of the Poincaré-Bendixson theorem for foliations of codimension one (à paraître dans Topology). | Zbl
,[11] On the existence of exceptional minimal sets in foliations of codimension one (à paraître). | Zbl
,[12] Notes multigraphiées.
,[13] Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées; Actualités scientifiques et industrielles, Hermann (1952). | MR | Zbl
,[14] Topological equivalence of Reeb foliations, Topology Vol. 9 (1970). | MR | Zbl
et ,[15] Plongements dans les variétés feuilletées et classification des feuilletages sans holonomie, à paraître aux publications de l'I.H.E.S. | Numdam | Zbl
,[16] Foliations and pseudo-groups, American journal of Math. Vol. 87 (1965). | MR | Zbl
,[17] On fibering certain foliated manifolds, Topology, Vol. 9, n° 2 (1970). | MR | Zbl
,[18] Geometric integration theory, Princeton University, Press (1957). | MR | Zbl
,[19] Growth of finitely generated solvable groups and curvature of Riemannian manifolds, Journal of differential Geometry 2 (1968) 421-446. | MR | Zbl
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