Une généralisation de la notion de transformée de Fourier-Stieltjes

Herz, Carl S.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 3, pp. 145-157.

L’espace $P{F}_p\left(G\right)$ des $p$-pseudofonctions sur un groupe localement compact $G$ est le complété de $L_1\left(G\right)$ pour la norme de convoluteur de $L_p\left(G\right)$. Dans le cas où le groupe $G$ est moyennable alors le banach dual à $P{F}_p\left(G\right)$ s’identifie avec une certaine algèbre $B_p\left(G\right)$ de fonctions continues sur $G$. L’algèbre $B_p\left(G\right)$ est déjà connue mais ici on montre que $B_p$ est un foncteur de groupes localement compacts. Pour $p=2$ alors $P{F}_2\left(G\right)$ est l’algèbre $C^{*}$ de $G$ dont le dual est $FS\left(G\right)$, l’algèbre de transformées de Fourier-Stieltjes. Donc, pour un groupe moyennable, élément de $B_n\left(G\right)$ généralise la notion de transformée de Fourier-Stieltjes avec coïncidence des deux notions en cas $p=2$.

The space $P{F}_p\left(G\right)$ of $p$-pseudofunctions on a locally compact group $G$ is the completion of $L_1\left(G\right)$ for the norm of convolvers of $L_p\left(G\right)$. In case the group $G$ is amenable, the dual Banach space of $P{F}_p\left(G\right)$ may be identified with a certain algebra $B_p\left(G\right)$ of continuous functions on $G$. The algebra $B_p\left(G\right)$ is already known, but here it is shown that $B_p$ is a functor of locally compact groups. When $p=2$ we have that $P{F}_2\left(G\right)$ is the $C^{*}$-algebra of $G$ whose dual is $FS\left(G\right)$, the algebra of Fourier-Stieltjes transforms. Thus for an amenable group, element of $B_n\left(G\right)$ generalizes the notion of Fourier-Stieltjes transform with which it coincides in case $p=2$.

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