Approximation de fonctions à valeurs dans un Fréchet par des fonctions holomorphes

Sibony, Nessim

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 4, pp. 167-179.

Soit $K$ un compact de $C^n$ de la forme $K={\Pi }_{i=1}^r{K}_i$ où chaque $K_i$ est soit l’adhérence d’un domaine strictement pseudoconvexe dans $C^{n_i}$, soit l’adhérence d’un polyèdre de Weil régulier, ou encore un compact de $C$. $E$ étant un espace de Fréchet, on montre que lorsque $f$ appartient à ${\mathbf{C}}^1(K,E)$ avec $\overline{\partial }f\cong 0$ alors $f$ est approchable uniformément sur $K$ par des fonctions holomorphes au voisinage de $K$ et à valeurs dans $E$. On donne également des résultats de localisation pour l’espace $H(K,E)$.

We consider compact sets $K\subset C^n$ of the form $K={\Pi }_{i=1}^r{K}_i$ where each $K_i$ is either the closure of a strongly pseudo-convex domain in $C^{n_i}$, or the closure of a regular Weil polyhedra, or a compact set in $C$. If $E$ is a Fréchet space, we show that if $f\in {\mathbf{C}}^1(K,E)$ with $\overline{\partial }f\cong 0$ then $f$ is uniformly approximated by holomorphic functions with values in $E$, i.e. belonging to $H(K,E)$; one give also results of localisation for the space $H(K,E)$.

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