Fonctions harmoniques et fonctions finement harmoniques
Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 4, pp. 77-91.

It is shown first that every finely [hyper]harmonic function in an open subset of the plane R 2 is [hyper]harmonic in the usual sense. This depends on a new boundary minimum principle for a bounded domain U in the plane, using fine limits at the boundary, but without making any assumption on the magnitude of the negative part of the given hyperharmonic function u in U. Afterwards this minimum principle is extended to the case where U is just finely open (and bounded) and u finely hyperharmonic. None of these results extends to the spaces R k for k>2. Finally the notion of fine harmonicity is characterized by a property of local approximation by restrictions of usual harmonic functions.

On montre d’abord que toute fonction finement [hyper]harmonique dans un ouvert du plan R 2 est [hyper]harmonique au sens ordinaire. On utilise pour cela un nouveau principe de minimum pour un domaine borné, U, du plan, avec des limites fines à la frontière, mais sans aucune hypothèse de minoration pour la fonction hyperharmonique donnée, u, dans U. Puis on étend ce dernier principe au cas de U finement ouvert (et borné) et u finement hyperharmonique. Aucun de ces résultats ne s’étend aux espaces R k avec k>2. Enfin, on caractérise la notion d’harmonicité fine par une propriété locale d’approximation par des restrictions de fonctions harmoniques ordinaires.

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Fuglede, Bent. Fonctions harmoniques et fonctions finement harmoniques. Annales de l'Institut Fourier, Volume 24 (1974) no. 4, pp. 77-91. doi : 10.5802/aif.532. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.532/

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