Sur certains espaces de formes linéaires liés aux mesures vectorielles

Bucchioni, D.; Goldman, André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 3, pp. 173-209.

En liaison avec le théorème d’Orlicz-Pettis, on étudie la plus fine topologie localement convexe ${\mathbf{T}}_1$ sur un elc $E$ pour laquelle toute mesure définie sur une tribu et à valeurs dans $E$ est ${\mathbf{T}}_1$-bornée. Pour cela, on considère l’espace $G_1^{\prime }$ des formes linéaires $x^{\prime }$ sur $E$ telles que, pour toute suite $\left(x_n\right)$ sous-série convergente de $E$, on ait $\Sigma |\langle x_n,x^{\prime }\rangle |<+\infty$. La topologie ${\mathbf{T}}_1$ coïncide avec la topologie de Mackey $\tau (E,G_1^{\prime })$ ; elle est bornologique et tonnelée, mais ce n’est pas la topologie bornologique et tonnelée associée à $E$. Ce point est établi en étudiant, par des méthodes basées sur la mesurabilité universelle et l’opération (A) de Souslin, les espaces de M. Valdivia. D’autres cas particuliers sont examinés : espaces de fonctions continues, produits d’elc. etc.

The purpose of this paper, motivated by the Orlicz-Pettis theorem, is to study the finest locally convex topology ${\mathbf{T}}_1$ on a locally convex space $E$ under which every $E$-valued vector measure is ${}_1$-bounded. In order to do this, we consider the space $G_1^{\prime }$ of all linear forms $x^{\prime }$ on $E$ such that, for each sequence $\left(x_n\right)$ which is “subseries-convergent” in $E$, the series $(\langle x_n,x^{\prime }\rangle )$ is unconditionally convergent. This topology ${\mathbf{T}}_1$, which is the Mackey topology of the dual pair $\langle E,G_1^{\prime }\rangle$, is bornological and barrelled, but $E,{\mathbf{T}}_1)$ is not the bornological and barrelled space associated with $E$. In order to prove this latter result, we investigate “Valdivia spaces" using “Souslin’s $\left(A\right)$-operation” and some techniques based on the theory of universal mesurability. Some others particular cases are examined: when $E$ is a space of continuous real-valued functions, a product of locally convex spaces, etc.

[1] H. Buchwalter, Espaces vectoriels bornologiques, Publ. Dép. Math. Lyon, 2-1 (1965), 2-53. | Numdam | MR | Zbl

[2] H. Buchwalter, Espaces ultrabornologiques et b-réflexivité, Publ. Dép. Math. Lyon, 8-1 (1971), 91-106. | Numdam | MR | Zbl

[3] H. Buchwalter, Sur le théorème de Nachbin-Shirota, J. Math. Pures et Appl., 51 (1972), 399-418. | MR | Zbl

[4] H. Buchwalter et Schmets, Sur quelques propriétés de l'espace Cs (T), J. Math. Pures et Appl., 52 (1973), 337-352. | MR | Zbl

[5] G. Choquet, Ensembles K-analytiques et K-sousliniens. Cas général et cas métrique, Ann. Inst. Fourier Grenoble, 9 (1959), 75-81. | Numdam | MR | Zbl

[6] J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups, Israël J. Math., 13, 3 et 4 (1972), 255-260. | MR | Zbl

[7] J. Diestel, Applications of weak compactness and bases to vector measures and vectorial integration, Revue Roum. Math. Pures et Appl., XVIII-2 (1973), 211-224. | MR | Zbl

[8] L. Drewnowski, Topological rings of sets, continuous set functions, integration II, Bull. Acad. Polon. Sc., 20 (1972), 277-286. | Zbl

[9] L. Drewnowski, Uniform boundedness principle for finitely additive vector measures, Bull. Acad. Polon. Sc., 21 (1973), 115-118. | MR | Zbl

[10] L. Drewnowski et I. Labuda, Sur quelques théorèmes du type d'Orlicz-Pettis II, Bull. Acad. Polon. Sc., 21 (1973), 119-126. | MR | Zbl

[11] N. Dunford et J.T. Schwartz, Linear operators I, (1958), New-York. | MR | Zbl

[12] L. Gillman et M. Jerison, Rings of continuous functions, (1960), Princeton. | MR | Zbl

[13] A. Goldman, Sur les ensembles universellement mesurables dans les espaces localement convexes, Publ. Dép. Math. Lyon, 12-2 (1975), 1-29. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[14] A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Mem. Amer. Math. Soc., 16 (1955). | MR | Zbl

[15] G. Köthe, Topological vector spaces I, (1969). | MR | Zbl

[16] I. Labuda, Sur quelques généralisations des théorèmes de Nikodým et de Vitali-Hahn-Saks, Bull. Acad. Polon. Sc., 20 (1972), 447-456. | MR | Zbl

[17] I. Labuda, Sur quelques théorèmes du type d'Orlicz-Pettis I, Bull. Acad. Polon. Sc., 21 (1973), 127-132. | MR | Zbl

[18] K. Noureddine, L'espace bornologique tonnelé associé à un espace localement convexe, C.R. Acad. Sc., Paris, 275, série A (1972), 977-979. | MR | Zbl

[19] V. Ptak, Completeness and the open mapping theorem, Bull. Soc. Math. France, 86 (1958), 41-74. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[20] A. Robert, Quelques questions d'espaces vectoriels topologiques, Comment. Math. Helvet., 42-4 (1967), 314-342. | EuDML | MR | Zbl

[21] J. Schmets et M. De Wilde, Caractérisation des espaces C (X) ultrabornologiques, Bull. Soc. Roy. Sc. Liège, 40e année, 3-4 (1971), 113-121. | MR | Zbl

[22] E. Thomas, L'intégration par rapport à une mesure de Radon vectorielle Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 20-2 (1970), 55-191. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[23] E. Thomas, The Lebesgue-Nikodým theorem for vector-valued Radon measures, Mem. Amer. Math. Soc., 139 (1974). | Zbl

[24] I. Tweddle, Unconditional convergence and vector-valued measures, J. London Math. Soc., 2-2 (1970), 603-610. | MR | Zbl

[25] M. Valdivia, A class of bornological barrelled spaces which are not ultrabornological, Math. Ann., 194 (1971), 43-51. | EuDML | MR | Zbl