Relations entre les 2-groupes de classes d’idéaux des extensions quadratiques k(d) et k(-d)
Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 2, p. 37-59

Damey and Payan have proved that the difference between the 4-rank of the ideal class groups of the quadratic Q(a) and Q(-a) is majored by (a is positive) :

0dim4HQ(-a)-dim4HQ(a)1.

In this paper the author generalizes this property by substitution of the base field Q by any number field k. The method thus used comes from Leopldt’s “Spiegelungssatz”.

Damey et Payan ont montré que la différence des 4-rangs des groupes des classes d’idéaux des corps quadratiques Q(a) et Q(-a) est majorée par (a étant positif) :

0dim4HQ(-a)-dim4HQ(a)1.

Dans ce papier, l’auteur généralise cette propriété en remplaçant le corps de base Q par un corps de nombres k quelconque. La méthode employée est issue du “Spiegelungssatz” de Leopoldt.

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Oriat, Bernard. Relations entre les 2-groupes de classes d’idéaux des extensions quadratiques $k(\sqrt{d})$ et $k(\sqrt{-d})$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 2, pp. 37-59. doi : 10.5802/aif.650. http://www.numdam.org/item/AIF_1977__27_2_37_0/

[1] L. Bouvier, Sur le 2-groupe des classes de certains corps biquadratiques, 3e cycle, Grenoble.

[2] P. Damey et J. J. Payan, Existence et construction des extensions galoisiennes et non abéliennes de degré 8 d'un corps de caractéristique différente de 2, Jour. für die reine und angew. Math., 244 (1970). | MR 43 #6186 | Zbl 0206.34401

[3] G. Gras, Sur les l-classes d'idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier l, Ann. de l'Institut Fourier, 23 (1973), 1-48. | Numdam | MR 50 #12967 | Zbl 0255.12003 | Zbl 0276.12013

[4] H. W. Leopoldt, Zur Struktur der l-Klassengruppe galoischer Zahlkörper, Journ. für die reine und angew. Math., 199 (1958), 165-175. | MR 20 #3116 | Zbl 0082.25402

[5] B. Oriat, Spiegelungssatz, Publications Mathématiques de la Faculté des Sciences de Besançon (1975). | Zbl 0403.12014

[6] A. Scholtz, Uber die Beziehung der Klassenzahlen quadratischer Körper zueinander, Jour. für die reine und angew. Math., 166 (1931), 201-203. | JFM 58.0181.05 | Zbl 0004.05104