Sur les idéaux jacobiens des courbes planes
Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 3, p. 193-210

Let J an ideal of C[[x,y]] and Δ 2 J be the ideal generated by the elements of J and their partial derivatives of order one. Let ϕ be a generic element of J and Δ 2 ϕ the jacobian ideal of ϕ, generated by partial derivatives of order one of ϕ. If J is already the jacobian ideal of an element of C[[x,y]] or more generally the iterated jacobian of such an element then Δ 2 J and Δ 2 ϕ have the same integral closure.

This result is useful in deformation and equisingularity problems, especially to calculate some Milnor numbers (cf. for example Lê Dung Tráng: “Calcul du nombre de cusps dans les déformations verselles des hypersurfaces complexes”, Bull. Soc. Math. France, 102).

Le (n+1)ème idéal jacobien itéré d’une courbe complexe algébroïde plane a même clôture intégrale que l’idéal jacobien d’un élément général du nième idéal jacobien itéré. Ce résultat ramène pour les idéaux ci-dessus les calculs de multiplicité à des calculs de longueur.

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Henry, Jean-Pierre. Sur les idéaux jacobiens des courbes planes. Annales de l'Institut Fourier, Volume 27 (1977) no. 3, pp. 193-210. doi : 10.5802/aif.667. http://www.numdam.org/item/AIF_1977__27_3_193_0/

[1] Lê Dũng Tráng, Calcul du nombre de cusps dans les déformations verselles des hypersurfaces complexes Bull. Soc. Math. France, 102 (1974), 99-107. | Numdam | MR 50 #2554 | Zbl 0298.14007

[2] F. Pham, Remarque sur l'équisingularité universelle, Faculté des Sciences de Nice, 1970 (Preprint).

[3] J.J. Risler, Sur les déformations équisingulières d'idéaux, Bull. Soc. Math. France, 101 (1973), 3-16. | Numdam | MR 48 #2143 | Zbl 0256.14006