Un théorème classique exprime qu’à partir d’un semi-groupe d’opérateurs sur l’espace des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini, , , , continue, , on peut construire un processus markovien “standard”, à trajectoires réglées et continues à droite, quasi-continu à gauche ; l’espace des états est supposé localement compact à base dénombrable d’ouverts. Nous supposons ici que l’espace des états est seulement universellement mesurable dans un souslinien complètement régulier ; le processus n’est plus homogène dans le temps, on a donc une famille d’opérateurs , , avec pour . Les hypothèses doivent donc être un peu modifiées, il n’existe plus ici de fonctions continues tendant vers 0 à l’infini; les probabilités de transition jouent ici le rôle fondamental. En outre, les temps d’arrêt n’interviennent pratiquement pas ; ce sont les désintégrations régulières qui les remplacent. À titre d’application, on peut considérer les marches aléatoires à temps continu dans un Banach, dont les mouvements browniens sont des cas particuliers.
Starting with a semi-group of operators on the space of continuous functions vanishing at infinity, , , , continuous, , one can classically define a “standard” Markov process, with ruled, right continuous paths, and left quasi-continuous; the fundamental space has to be locally compact with a countable basis. We assume here that is only a universally measurable subspace of a completely regular Suslin space ; the process is no longer time homogeneous, therefore we have a family of operators with for . The hypotheses have to be slightly modified because continuous functions vanishing at infinity don’t longer exist; the transition probabilities play a fundamental role. Moreover, stopping time practically don’t occur the regular desintegrations replace them. As applications: stochastic walkings with continuous times in a Banach space; among them the brownian motions are particular cases.
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Schwartz, Laurent. Processus de Markov et désintégrations régulières. Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 3, pp. 211-277. doi : 10.5802/aif.668. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.668/
Markov Processes and Potential theory, Academic Press, New-York and London, 1968. | MR | Zbl
et [1],Probabilités et potentiel, Paris, Hermann, 1975.
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[2].Cité par Sources :