Décomposition des nombres premiers dans des extensions non abéliennes

Satge, Philippe

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 1-8.

Soit $K$ un corps de nombre galoisien non abélien sur $\mathbf{Q}$ dont le groupe de Galois $G$ possède un sous-groupe abélien distingué $H$ vérifiant les propriétés suivantes : l’ordre de $H$ est impair si son corps des invariants est un corps réel de degré strictement supérieur à 2, et l’application transfert qui lui est associée est l’application triviale. On montre que la décomposition d’un nombre premier dans une telle extension dépend de la représentation de ce nombre par certaines formes à coefficients entiers dont le degré et le nombre des variables est égal à l’indice de $H$ dans $G$.

Let $K$ be a number field normal over $\mathbf{Q}$ with Galois group $G$ containing a normal abelian subgroup $H$ with the following properties: $H$ is of odd order if its fixed field is a real field of degree greater than 2 and the “Verlagerung" application associated with $H$ is trivial. It is shown that the decomposition of a prime number in $K$ depends on its representation by some forms with integral coefficients and with degree and number of variables equal to the index of $H$ in $G$.

[1] Gauss, Arithmetishe Untersuchungen, Werke Bd (traduction française : Blanchard ; traduction anglaise : Yale Univ. Press).

[2] Borevich, Shafarevich, Théorie des nombres, Monographie internationale de Math. Moderne n° 8, Gauthier-Villard. | Zbl

[3] Artin, Tate, Class Field Theory, Harvard (1961).

[4] Emma Lehmer, Cubic and Quintic residue, Duke Math. Journal, 18 (1951).