Sur une famille de variétés à bord lipschitziennes. Application à un problème d'identification de domaines

Chenais, Denise

Annales de l'Institut Fourier, Tome 27 (1977) no. 4, pp. 201-231.

$D$ étant un ouvert borné de ${\mathbf{R}}^n$ donné, on considère l’ensemble $VL(r,k)$ des ouverts de ${\mathbf{R}}^n$ inclus dans $D$, localement uniformément image de demi-espaces par des homéomorphismes bilipschitiziens. Les cartes locales sont définies sur des boules de rayon $r$, elles sont bilipschitziennes de constante $k$.

On montre que cette famille est plus générale que celle des ouverts uniformément lipschitziens.

On montre ensuite en utilisant une méthode de réflexions que pour $\Omega \in VL(r,k)$, les espaces de Sobolev $W_p^1\left(\Omega \right)$ $(p\ge 1)$ possèdent une propriété de prolongement uniforme.

D’autre part, on montre que pour la topologie de la mesure de la différence symétrique entre 2 éléments de $VL(r,k)$, $VL(r,k)$ est un espace compact.

$D$ is a given bounded set in ${\mathbf{R}}^n$. We consider $VL(r,k)$, the set of all the open subsets of $D$ which are locally uniformly image of half space by a lipschitzian homeomorphism. The local charts are defined on balls of radius $r$, they are bilipschitzian with constant $k$.

We first prove that this family is more general than the family of lipschitzian open sets.

Then, using the reflexion method, we prove that for $\Omega \in VL(r,k)$, the Sobolev spaces $W_p^1\left(\Omega \right)$ $(p\ge 1)$ have a uniform extension property.

We prove too that the set of the characteristic functions of the elements of $VL(r,k)$ is compact.

[1] Adams-Aronszajn-Smith, Theory of Bessel potentials, part II, Annales de l'Institut Fourier, 17 (1967). | Numdam | Zbl

[2] Agmon, Lectures on elliptic boundary value problems, Van Nostrand Company inc. (1965). | MR | Zbl

[3] Aronszajn-Mulla-Szeptycki, On space of potentials connected with Lp classes, Annales de l'Institut Fourier, 13 (1963). | Numdam | Zbl

[4] Bourbaki, Topologie Générale, Ch. I, exercices, Hermann (1961).

[5] Chenais, On the existence of a solution in a domain identification problem, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Nov., (1975). | MR | Zbl

[6] Dervieux-Palmerio, Identification de domaines et problèmes de frontières libres, Thèse de l'Université de Nice (1974).

[7] Grisvard, Séminaire Cartan-Schwarz de l'Université de Paris19631964, Exposé n° 12. | Numdam

[8] Lions, Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles, (1re session, été 62), Presses de l'Université de Montréal, 2e éd., (1965). | MR | Zbl

[9] Murat-Simon, Quelques résultats sur le contrôle par un domaine géométrique, Publications de l'IRIA, n° 74 003.

[10] Nečas, Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques, Masson et Cie (1967).

[11] Rademacher, Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln und über die Transformation der Doppel-integrale, Math. Annalen, 79 (1918). | JFM