Équations d'évolution non linéaires : solutions bornées et périodiques

Haraux, Alain

Annales de l'Institut Fourier, Tome 28 (1978) no. 2, pp. 201-220.

Soit $\partial \varphi$ un sous-différentiel (non coercif) dans un espace de Hilbert.

On étudie l’existence de solutions bornées ou périodiques pour l’équation

$$\frac{du}{dt}+\partial \varphi \left(u\right(t\left)\right)\ni f\left(t\right),t\ge 0.$$

Deux solutions périodiques éventuelles diffèrent d’une constante. Si $f$ est périodique et $(\dot{I}+\partial \varphi {)}_{-1}$ compact, toute trajectoire bornée est asymptote pour $t\to +\infty$ à une trajectoire périodique.

Let $\partial \varphi$ be a (non coercive) subdifferential in a Hilbert space.

We study the existence of bounded or periodic solutions for the equation

$$\frac{du}{dt}+\partial \varphi \left(u\right(t\left)\right)\ni f\left(t\right),t\ge 0.$$

The difference of two periodic solutions is a constant vector. When $f$ is periodic and $(\dot{I}+\partial \varphi {)}_{-1}$ is compact, every bounded trajectory approaches a periodic solution as $t\to +\infty$.

[1] L. Amerio and G. Prouse, Abstract almost periodic functions and functional analysis, Van Nostrand, New York.

[2] J. B. Baillon et A. Haraux, Comportement à l'infini dans les équations d'évolution paraboliques avec " forcing périodique ", à paraître. | Zbl

[3] H. Brezis, Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North-Holland Publ. C., Amsterdam, London, (1973). | MR | Zbl

[4] F. Browder and W. Petryshyn, The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 72, 571-575. | MR | Zbl

[5] J. L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites non linéaires, Dunod & Gauthier-Villars, (1969). | Zbl

[6] S. Maury, Séminaire d'Analyse convexe, 1973, Montpellier, Exposé n° 8. | Zbl