We study the Martin compactification of a Lipschitz domain, with respect to an elliptic operator : we show, for -harmonic functions and adjoint -harmonic functions, an estimate due to -Carleson when . We use that result to obtain a “Harnack Boundary Principle” related to the behaviour of -harmonic functions. We can then obtain, the existence and uniqueness of a -kernel functions at each , as well as a Fatou-Doob type theorem on non tangential limits for quotients of -harmonic functions. We construct a planar domain whose Martin compactification with respect to and are not homeomorphics, and a domain including an angle such that the net is not converging in the usual compactification of .
L’article étudie le compactifié de Martin d’un domaine lipschitzien relativement à un opérateur elliptique à coefficients hödériens ; on étend aux fonctions -harmoniques et aux fonctions -harmoniques adjointes sur une estimation de -Carleson pour le cas , puis on établit un “principe de Harnack à la frontière” comparant l’allure à la frontière de fonctions -harmoniques sur . Conséquences : , et normalisée en ; un théorème de type Fatou-Doob sur l’existence de limites angulaires.
On construit un domaine plan dont les compactifiés relativement à et à ne sont pas homéomorphes, et un domaine contenant un angle et tel que ne soit pas une base de filtre convergente dans le compactifié de .
@article{AIF_1978__28_4_169_0, author = {Ancona, Alano}, title = {Principe de {Harnack} \`a la fronti\`ere et th\'eor\`eme de {Fatou} pour un op\'erateur elliptique dans un domaine lipschitzien}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {169--213}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {28}, number = {4}, year = {1978}, doi = {10.5802/aif.720}, mrnumber = {80d:31006}, zbl = {0377.31001}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.720/} }
TY - JOUR AU - Ancona, Alano TI - Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1978 SP - 169 EP - 213 VL - 28 IS - 4 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.720/ DO - 10.5802/aif.720 LA - fr ID - AIF_1978__28_4_169_0 ER -
%0 Journal Article %A Ancona, Alano %T Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien %J Annales de l'Institut Fourier %D 1978 %P 169-213 %V 28 %N 4 %I Institut Fourier %C Grenoble %U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.720/ %R 10.5802/aif.720 %G fr %F AIF_1978__28_4_169_0
Ancona, Alano. Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien. Annales de l'Institut Fourier, Volume 28 (1978) no. 4, pp. 169-213. doi : 10.5802/aif.720. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.720/
[1] Remarques sur la variation des fonctions harmoniques et les masses associées. Application, Ann. Inst. Fourier, II (1950), 101-111. | Numdam | MR | Zbl
,[1bis] Sur le principe des singularités positives et la topologie de R.S. Martin, Ann. Univ. Grenoble, 23, 298-30 (1950), 307. | Numdam
,[2] Espaces harmoniques associés aux opérateurs différentiels linéaires du second ordre de type elliptique, Lecture Notes, 68, Springer Verlag (1968). | MR | Zbl
et ,[3] On the existence of boundary values for harmonic functions of several variables, Ark. Math., 4 (1962). | MR | Zbl
,[4] A note on sets of harmonic measure zero, Preprint.
,[5] On isolated singularities of solutions of second order elliptic equations, J. d'Anal. Math., 4 (1954-1956), 309-340. | MR | Zbl
et ,[6] Fatou-Doob limit theorems in the axiomatic system of Brelot, Ann. Inst. Fourier, 16 (1966), 455-467. | Numdam | MR | Zbl
,[7] Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR | Zbl
,[8] Uber die existenz harmonisher minoranten von superharmonishen Funktionen, Mat. Ann., 225 (1977), 99-114. | MR | Zbl
,[9] A Boundary Harnack principle for Lipschitz domains and the principle of positive singularities, Comm. pure appl. math., 25 (1972), 247-255. | MR | Zbl
,[10] On the boundary values of harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 132, n° 2 (1968), 307-322. | MR | Zbl
and ,[11] Positive harmonic functions on Lipschitz domains, Trans. Amer. Math. Soc., 147 (1970), 507-527. | MR | Zbl
and ,[12] Minimal positive harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 49 (1941), 137-172. | JFM | MR | Zbl
,[13] Barriers on cones for uniformly elliptic operators, Ann. Math. pura ed. applicata, IV, vol. 76 (1967), 93-106. | MR | Zbl
,[14] Partial differential equations of elliptic type, Springer Verlag (1970). | MR | Zbl
,[15] On the Martin compactification of a bounded Lipschitz domain in a Riemannian manifold, Preprint. | Numdam | Zbl
,[16] On the Harnack inequality for linear elliptic equations, J. d'Anal. Math., 4 (1956), 292-308. | MR | Zbl
,[17] Propriétés des fonctions harmoniques dans un domaine limité par des surfaces à courbure bornée, Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, 2, vol 2 (1933), 167-192. | JFM | Numdam
,[18] Inequalities for the Green function and boundary of the gradient of solutions of elliptic equations, Math. Scand., 21 (1967), 17-37. | MR | Zbl
,Cited by Sources: