Capacités invariantes extrémales
Annales de l'Institut Fourier, Volume 28 (1978) no. 4, p. 79-146
We study a class of invariant measures on a locally compact space, which are invariant under a continuous operation of a locally compact group G. We pay most of our attention to the set of extreme rays. We define a very simple class of continuous operations for which we are able to give a complete description of the cone. Then we describe a class of operations (which contains the Bernoulli shift on {0,1} N ) which are not of the preceding type, and which we study in great detail. The most striking result is that when G is amenable, the set of extreme rays is dense. The paper ends with a study of various ways of constructing extremal rays, and representing them using Banach means.
On étudie certains cônes de mesures 0 sur un espace localement compact, qui sont invariantes par l’action continue d’un groupe localement compact G, cette étude étant centrée sur les génératrices extrémales de ces cônes. On dégage d’abord un type très simple d’action continue où l’on décrit complètement la situation. On dégage ensuite une classe d’actions (contenant par exemple l’action de shift de Bernoulli sur {0,1} N ) qui ne sont pas du type précédent, et que l’on étudie en grand détail. Le résultat le plus frappant est que lorsque G est moyennable, l’ensemble des génératrices extrémales du cône est dense. On étudie enfin diverses méthodes de construction des génératrices extrémales, et des méthodes de représentation à l’aide de moyennes de Banach.
@article{AIF_1978__28_4_79_0,
     author = {Talagrand, Michel},
     title = {Capacit\'es invariantes extr\'emales},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
     volume = {28},
     number = {4},
     year = {1978},
     pages = {79-146},
     doi = {10.5802/aif.718},
     zbl = {0377.28008},
     mrnumber = {80d:31002},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1978__28_4_79_0}
}
Talagrand, Michel. Capacités invariantes extrémales. Annales de l'Institut Fourier, Volume 28 (1978) no. 4, pp. 79-146. doi : 10.5802/aif.718. http://www.numdam.org/item/AIF_1978__28_4_79_0/

[1]J. Chatard, Application des propriétés de moyenne d'un groupe localement compact à la théorie ergodique, Ann. Inst. Henri Poincaré, Vol. VI, n° 4 (1970), 307-326. | Numdam | Zbl 0208.15303

[2]G. Choquet, Lectures on Analysis, W. A. Benjamin, Inc. New York, 1969. | Zbl 0181.39602

[3]G. Choquet, Theory of Capacities, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, V (1953), 131-297. | Numdam | MR 18,295g | Zbl 0064.35101

[4]R. E. Edwards, Functional Analysis Holt, Rinehart and Winston, New York, 1965. | Zbl 0182.16101

[5]W. R. Emerson, Covering Properties and Folner Conditions for locally compact Groups, Math. Zeitschr., 102 (1967), 370-384. | MR 36 #3912 | Zbl 0184.36104

[6]F. P. Greenleaf, Ergodic Theorems and the Construction of Summing Sequences in Amenable Locally Compact Groups, Communications on Pure and Applied Math., Vol. XXVI (1973), 29-46. | MR 49 #3026 | Zbl 0243.22005

[7]F. P. Greenleaf, Invariant Means on Topological groups, Von Nostrand, Math. Studies, 16 (1969). | MR 40 #4776 | Zbl 0174.19001

[8]P. R. Halmos, In general a measure preserving transformation is mixing, Annals of Math., (1944), 786. | MR 6,131d | Zbl 0063.01889

[9]K. Jacobs, Lectures notes on Ergodic Theory, Aarhus Universitet, 1962. | Zbl 0196.31301

[10]J. Lindenstrauss, G. Olsen and Y. Sternfeld, The Poulsen Simplex, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 28, 1 (1978), 91-114. | Numdam | MR 80b:46019a | Zbl 0363.46006

[11]Roklin, In general a measure-preserving transformation is not mixing, Doklady, (1948), 349.

[12]M. Talagrand. Capacités invariantes, C.R.A.S.. t. 284, p. 481-484. | MR 55 #603 | Zbl 0339.31008

[13]M. Talagrand, Capacités invariantes : le cas alterné d'ordre infini, C.R.A.S., t. 284, p. 543-546. | MR 55 #604 | Zbl 0339.31009

[14]M. Talagrand, Quelques exemples de représentation intégrale: Valuations, fonctions alternées d'ordre infini. Bull. Sc. math., 2e série, 100 (1976), 321-329. | Zbl 0363.28002

[15]M. Talagrand, Moyennes de Banach extrémales, CRAS, t. 282, p. 1359-1362. | MR 54 #8146 | Zbl 0327.43007