Sur la structure galoisienne du groupe des unités d’un corps abélien de type $(p,p)$

Bouvier, Lyliane; Payan, Jean-Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 171-187.

Pour décrire la structure galoisienne à $\mathbf{Z}\left[G\right]$-isomorphisme près du quotient par $\{\pm 1\}$ du groupe des unités d’une extension abélienne absolue de groupe de Galois $G$ de type $(p,p)$, on amorce la description des $\mathbf{Z}\left[G\right]$-modules de type fini libres sur $\mathbf{Z}$ dont le caractère est contenu dans la représentation d’augmentation. La classification est complète pour les modules de rang inférieur ou égal à 3 ; elle est appliquée à la description donnée par T. Kubota des unités d’un corps biquadratique non cyclique en fonction des unités fondamentales des trois sous-corps quadratiques.

To describe the Galois structure up to $\mathbf{Z}\left[G\right]$-isomorphism of the quotient by $\{\pm 1\}$ of the group of units of an absolute abelian extension of a Galois group $G$ of type $(p,p)$, one begins the description of $\mathbf{Z}\left[G\right]$-modules of finite type, free over $\mathbf{Z}$, whose character is contained in the augmentation representation. The classification is complete for modules of rank less than or equal to 3; it is applied to the description given by T. Kubota of the units of a non-cyclic biquadratic field in terms of the fundamental units of the three quadratic sub-fields.

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