Discrépance de la suite $(\lbrace n\alpha \rbrace ),\alpha =(1+\sqrt{5})/2$

Dupain, Yves

Discrépance de la suite

({n α}), α = (1 + \sqrt{5}) / 2

Dupain, Yves

Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, p. 81-106

Abstract
Résumé

Let $D^{*} (N)$ be the star-discrepancy of the sequence $(\{n \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\})$ . We show that $lim sup \frac{D^{*} (N)}{Log N} = \frac{3}{20} {(Log \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{- 1} = 0.31 \dots$ , which illustrates the fact that our sequence has smaller star-discrepancy than that of van der Corput’s sequence. Our proofs involve continued fraction theory.

Soit $D^{*} (N)$ la discrépance “à l’origine” de la suite $(\{n \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\})$ . Nous montrons que $lim sup \frac{D^{*} (N)}{Log N} = \frac{3}{20} {(Log \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{- 1} = 0.31 \dots$ , quantité inférieure à celle correspondant à la suite de van der Corput. Les techniques utilisées sont celles liées au développement en fraction continue.

MR 80f:10061 | Zbl 0386.10021 | 2 citations in Numdam

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.728

@article{AIF_1979__29_1_81_0,
     author = {Dupain, Yves},
     title = {Discr\'epance de la suite $(\lbrace n\alpha \rbrace ),\alpha =(1+\sqrt{5})/2$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {29},
     number = {1},
     year = {1979},
     pages = {81-106},
     doi = {10.5802/aif.728},
     zbl = {0386.10021},
     mrnumber = {80f:10061},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1979__29_1_81_0}
}

Dupain, Yves. Discrépance de la suite $(\lbrace n\alpha \rbrace ),\alpha =(1+\sqrt{5})/2$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 1, pp. 81-106. doi : 10.5802/aif.728. http://www.numdam.org/item/AIF_1979__29_1_81_0/

References

[1] R. Bejian et H. Faure, Discrépance de la suite de van der Corput, C.R. Acad. Sc., Paris, 285 (1977), 313-316. | MR 56 #2950 | Zbl 0361.10032

[2] Y. Dupain, Intervalles à restes majorés pour la suite {nα}, Acta. Math. Acad. Scient. Hung., t. 29 (3,4) (1977), 289-303. | MR 57 #3092 | Zbl 0372.10026

[3] L. Kuipers and H. Niederreiter, Uniform distribution of sequences, Wiley Interscience, New York, (1974), 88-132. | MR 54 #7415 | Zbl 0281.10001

[4] J. Lesca, Sur la répartition modulo 1 des suites {nα}, Acta Arith., 20 (1972), 345-352. | MR 46 #1723 | Zbl 0239.10018

[5] J. Lesca, Sur la répartition modulo 1 des suites {nα}, Séminaire Delange-Pisot-Poitou, (1966-1967), fascicule 1, exposé n° 2. | Numdam | Zbl 0164.05502