Une borne inférieure pour le volume d'une variété riemannienne en fonction du rayon d'injectivité
Annales de l'Institut Fourier, Volume 30 (1980) no. 3, p. 259-265

One shows that, for a compact riemannian manifold of injectivity radius i, the volume is bigger than or equal to that of the sphere having same dimension and constant sectional curvature equal to π 2 i -2 . Equality can occur only for that precise sphere.

On démontre que si le rayon d’injectivité d’une variété riemannienne compacte est égal à i, alors le volume de cette variété est supérieur ou égal à celui de la sphère de même dimension et de courbure sectionnelle constante et égale à π 2 i -2 . L’égalité ne peut se produire que pour cette sphère précise.

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Berger, Marcel. Une borne inférieure pour le volume d'une variété riemannienne en fonction du rayon d'injectivité. Annales de l'Institut Fourier, Volume 30 (1980) no. 3, pp. 259-265. doi : 10.5802/aif.802. http://www.numdam.org/item/AIF_1980__30_3_259_0/

[1] M. Berger, Some relations between volume, injectivity radius and convexity radius in Riemannian manifolds, dans Differential Geometry and Relativity, D. Reidel, 1976. | MR 56 #6562 | Zbl 0342.53038

[2] M. Berger, Volume et rayon d'injectivité dans les variétés riemanniennes de dimension 3, Osaka Math. J., 14 (1977), 191-200. | MR 57 #7451 | Zbl 0353.53028

[3] M. Berger et J.L. Kazdan, A Sturm-Liouville Inequality with Applications to an Isoperimetric Inequality for Volume, Injectivity Radius and to Wiedersehen Manifolds, p. 367-377, General Inequalities 2, Edited by E.F. Beckenback, Birkhaüser, 1980. | MR 82k:53060 | Zbl 0445.53031

[4] A. Besse, Manifolds all of whose Geodesics are Closed, Ergebnisse der Mathematik, n° 93, Springer, 1978. | MR 80c:53044 | Zbl 0387.53010

[5] C. Croke, Some isoperimetric inequalities and eigenvalue estimates, à paraître dans Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. | Numdam | Zbl 0465.53032

[6] J.L. Kazdan, An Inequality Arising in Geometry, Appendice E de [4].