Fondements de la théorie des -produits. Notion de -produit de Vey; tout -produit est équivalent à un -produit de Vey. Sur toute variété symplectique paracompacte telle que , il existe des -produits de Vey. Caractérisation des algèbres de Lie engendrées par antisymétrisation d’un -produit (éventuellement faible); ce sont à une équivalence près, les algèbres de Lie de Vey.
On considère les variétés symplectiques sur lesquelles opère, par symplectomorphismes, un groupe de Lie . Si admet une connexion linéaire -invariante, elle admet une connexion symplectique -invariante. Si est compact connexe et si admet un -produit, elle admet un -produit de Vey -invariant. Si est un groupe de Lie connexe, le groupe admet une structure et une connexion symplectique bi-invariantes par . Si est compact et si admet un -produit, il admet un -produit de Vey bi-invariant par .
Foundations of the theory of the -products. Notion of Vey -product; each -product is equivalent to a Vey -product. Existence of Vey -products on each paracompact symplectic manifold such that . Characterization of the Lie algebras generated by a (eventually weak) -product; these Lie algebras are the algebras equivalent to a Vey Lie algebra.
We consider the symplectic manifolds on which a Lie group acts by symplectomorphisms. If admits a -invariant linear connection, it admits a -invariant symplectic connection. If is a connected compact Lie group and if admits a -product, it admits a -invariant Vey -product. If is a connected Lie group, the group admits a symplectic structure and a symplectic connection which are bi-invariant under . If is compact and if admits a -product, admits a Vey -product that is bi-invariant under .
@article{AIF_1982__32_1_157_0, author = {Lichnerowicz, Andr\'e}, title = {D\'eformations d{\textquoteright}alg\`ebres associ\'ees \`a une vari\'et\'e symplectique (les $*_\nu $-produits)}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {157--209}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {32}, number = {1}, year = {1982}, doi = {10.5802/aif.865}, mrnumber = {83k:58095}, zbl = {0465.53025}, language = {fr}, url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.865/} }
TY - JOUR AU - Lichnerowicz, André TI - Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les $*_\nu $-produits) JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1982 SP - 157 EP - 209 VL - 32 IS - 1 PB - Institut Fourier PP - Grenoble UR - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.865/ DO - 10.5802/aif.865 LA - fr ID - AIF_1982__32_1_157_0 ER -
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Lichnerowicz, André. Déformations d’algèbres associées à une variété symplectique (les $*_\nu $-produits). Annales de l'Institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 1, pp. 157-209. doi : 10.5802/aif.865. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.865/
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