Kassel, Christian; Loday, Jean-Louis
Extensions centrales d'algèbres de Lie
Annales de l'institut Fourier, Tome 32 (1982) no. 4 , p. 119-142
Zbl 0485.17006 | MR 85g:17004 | 5 citations dans Numdam
doi : 10.5802/aif.896
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Soient k un anneau commutatif et A une k-algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie H 2 (𝔰l n (A),k) de la k-algèbre de Lie 𝔰l n (A) des matrices de “trace nulle” sur A. Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à Ω A/k 1 /dA lorsque A est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de k-algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des modules croisés d’algèbres de Lie.
Given a commutative ring k and an associative k-algebra A, we compute the homology group H 2 (𝔰l n (A),k) of the k-Lie algebra 𝔰l n (A)of “trace zero” matrices. This group appears to be a homology group of a complex derivated from A. Connes’ work; it is isomorphic to Ω A/k 1 /dA when A is commutative. Results are also given for relative homology associated to a surjection of k-algèbras. The proofs involve a classification of central extensions and crossed modules of Lie algebras.

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