Given a commutative ring and an associative -algebra , we compute the homology group of the -Lie algebra of “trace zero” matrices. This group appears to be a homology group of a complex derivated from A. Connes’ work; it is isomorphic to when is commutative. Results are also given for relative homology associated to a surjection of -algèbras. The proofs involve a classification of central extensions and crossed modules of Lie algebras.
Soient un anneau commutatif et une -algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie de la -algèbre de Lie des matrices de “trace nulle” sur . Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à lorsque est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de -algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des modules croisés d’algèbres de Lie.
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Kassel, Christian; Loday, Jean-Louis. Extensions centrales d'algèbres de Lie. Annales de l'Institut Fourier, Volume 32 (1982) no. 4, pp. 119-142. doi : 10.5802/aif.896. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.896/
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