Sur les systèmes d'équations différence-différentielles

Berenstein, C. A.; Taylor, B. A.; Yger, A.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1, pp. 109-130.

Étant donné un système $\left(S\right)$ d’équations différence-différentielles à coefficients constants en deux variables, où les retards sont commensurables, de la forme : ${\mu }_1*f=0$, ${\mu }_2*f=0$, si le système n’est pas redondant (i.e. $V\{{\widehat{\mu }}_1={\widehat{\mu }}_2=0\}$ est discrète dans ${\mathbf{C}}^2$), toute solution $C^{\infty }$ du système admet une représentation $f\left(x\right)=\Sigma a_{\gamma }\left(x\right)e^{i\langle \gamma ,x\rangle }$, où $\gamma \in V$, $a_{\gamma }\in \mathbf{C}[x_1,x_2]$ et $a_{\gamma }\left(x\right)e^{i\langle \gamma ,x\rangle }$ est une solution du système $\left(S\right)$. La série est de plus convergente dans $ℰ\left({\mathbf{R}}^2\right)$ après un groupement de termes indépendant de la solution $f$.

Given a system $\left(S\right)$ of two difference-differential equations with constant coefficients in ${\mathbf{R}}^2$, whose delays are commensurable, say $\left(S\right):{\mu }_1*f={\mu }_2*f=0$, if the system is not redundant (i.e. $V=\{{\widehat{\mu }}_1={\widehat{\mu }}_2=0\}$ is discrete in ${\mathbf{C}}^2$), every $C^{\infty }$ solution of the system admits a representation $f\left(x\right)=\Sigma a_{\gamma }\left(x\right)e^{i\langle \gamma ,x\rangle }$, where $\gamma \in V$, $a_{\gamma }\in \mathbf{C}[x_1,x_2]$ and $a_{\gamma }\left(x\right)e^{i\langle \gamma ,x\rangle }$ is also a solution of the system $\left(S\right)$. Moreover, the serie is convergent in $ℰ\left({\mathbf{R}}^2\right)$ after a grouping of terms independent of the solution $f$.

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