Ouchi, Sunao
Characteristic Cauchy problems and solutions of formal power series
Annales de l'institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 1 , p. 131-176
Zbl 0494.35017 | MR 85g:35014
doi : 10.5802/aif.907
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_1983__33_1_131_0

Soit L(z, z )=( z 0 ) k -A(z, z ) un opérateur linéaire différentiel à coefficients holomorphes, où A(z, z )= j=0 k-1 A j (z, z )( z 0 ) j , ord .A(z, z )=m>k et z=(z 0 ,z )C n+1 . On considère le problème de Cauchy aux données holomorphes L(z, z )u(z)=f(z),( z 0 ) i u(0,z )=u ^ i (z )(0ik-1). On peut facilement obtenir une solution formelle u ^(z)= n=0 u ^ n (z )(z 0 ) n /n!, mais en général elle diverge. On montre sous certaines conditions que pour un secteur arbitraire S d’ouverture moindre qu’une constante déterminée par L(z, z ), il y a une fonction u S (z) holomorphe sauf sur {z 0 =0}, telle que L(z, z )u S (z)=f(z) et u S (z)u ^(z) quand z 0 0 dans S.
Let L(z, z )=( z 0 ) k -A(z, z ) be a linear partial differential operator with holomorphic coefficients, where A(z, z )= j=0 k-1 A j (z, z )( z 0 ) j , ord .A(z, z )=m>k and z=(z 0 ,z )C n+1 . We consider Cauchy problem with holomorphic data L(z, z )u(z)=f(z),( z 0 ) i u(0,z )=u ^ i (z )(0ik-1). We can easily get a formal solution u ^(z)= n=0 u ^ n (z )(z 0 ) n /n!, bu in general it diverges. We show under some conditions that for any sector S with the opening less that a constant determined by L(z, z ), there is a function u S (z) holomorphic except on {z 0 =0} such that L(z, z )u S (z)=f(z) and u S (z)u ^(z) as z 0 0 in S.

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