Unique continuation for Schrödinger operators in dimension three or less
Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 3, p. 189-200

We show that the differential inequality |Δu|v|u| has the unique continuation property relative to the Sobolev space H loc 2,1 (Ω), ΩR n , n3, if v satisfies the condition

(Kn loc )limr0supxK|x-y|<r|x-y|2-nv(y)dy=0

for all compact KΩ, where if n=2, we replace |x-y| 2-n by -log|x-y|. This resolves a conjecture of B. Simon on unique continuation for Schrödinger operators, H=-Δ+v, in the case n3. The proof uses Carleman’s approach together with the following pointwise inequality valid for all N=0,1,2,... and any uH c 2,1 (R 3 -{0}),

|u(x)||x|NCR3|x-y|-1|Δu(y)||y|Ndyfora.e.xinR3.

Nous démontrons que l’inégalité différentielle |Δu|v|u| a la propriété de prolongement unique se rapportant à l’espace Sobolev H loc 2,1 (Ω), ΩR n , n3, si v satisfait la condition

(Kn loc )limr0supxK|x-y|<r|x-y|2-nv(y)dy=0

pour tout compact KΩ, où, si n=2, nous remplaçons |x-y| 2-n par -log|x-y|. Ceci résout une conjecture par B. Simon ayant trait au prolongement unique pour les opérateurs de Schrödinger, H=-Δ+v, dans le cas où n3. La preuve utilise une approche du type Carleman de concours avec l’inégalité suivante, valable pour tout N=0,1,2,... et n’importe quel uH c 2,1 (R 3 -{0}),

|u(x)||x|NCR3|x-y|-1|Δu(y)||y|Ndyfora.e.xinR3.

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     author = {Sawyer, Eric T.},
     title = {Unique continuation for Schr\"odinger operators in dimension three or less},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
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Sawyer, Eric T. Unique continuation for Schrödinger operators in dimension three or less. Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 3, pp. 189-200. doi : 10.5802/aif.982. http://www.numdam.org/item/AIF_1984__34_3_189_0/

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