Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables
Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 3, p. 83-123

Let P(x ̲)=P(x 1 ,...,x n ) and Q(x ̲)=Q(x 1 ,...,x n ) be tow polynomials with positive coefficients such that:

lim|x ̲|+x1,...,xn1P(x ̲)Q(x ̲)=+.

Let η ̲=(η 1 ,...,η n )N n and R=P/Q. We study the Dirichlet series Z(R,η ̲;s)= η 1 ,...,η n =1 η ̲ η ̲ R(η ̲) -s : abscissa of absolute convergence, existence and nature of the meromorphic continuation, order of growth in vertical strips. Our process for constructing the meromorphic continuation of the function sZ(R,η ̲;s) only depends on η ̲ and some particular monomials of P and Q: the extremal monomials.

Soient P(x ̲)=P(x 1 ,...,x n ) et Q(x ̲)=Q(x 1 ,...,x n ) deux polynômes à coefficients positifs vérifiant :

lim|x ̲|+x1,...,xn1P(x ̲)Q(x ̲)=+.

Soient η ̲=(η 1 ,...,η n )N n et R=P/Q. On étudie la série de Dirichlet Z(R,η ̲;s)= η 1 ,...,η n =1 η ̲ η ̲ R(η ̲) -s : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction sZ(R,η ̲;s) qui ne dépend que de η ̲ et de certains monômes de P et Q: les monômes extrémaux.

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     author = {Sargos, Patrick},
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     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
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Sargos, Patrick. Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables. Annales de l'Institut Fourier, Volume 34 (1984) no. 3, pp. 83-123. doi : 10.5802/aif.979. http://www.numdam.org/item/AIF_1984__34_3_83_0/

[1] M.F. Atiyah, Resolution of singularities and division of distribution, Comm. Pure Appli. Math., 23, 2 (1970), 145-150. | MR 41 #815 | Zbl 0188.19405

[2] M. Berger, Géométrie, volume 3, Cedic-Fernand Nathan, Paris, (1978). | Zbl 0423.51001

[3] I.N. Bernstein and S.I. Gel'Fand, Meromorphic property of the function Pλ, Funkts. Analiz, 3, N°1 (1969), 84-86. | MR 40 #723 | Zbl 0208.15201

[4] N. Bournaki, Espaces vectoriels topologiques, chapitre 2, Hermann, Paris, 1966.

[5] P. Cassou-Nogues, Applications arithmétiques de l'étude des valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme, Ann. Inst. Fourier, 31-4 (1981), 1-36. | Numdam | MR 83e:12011 | Zbl 0496.12009

[6] P. Cassou-Nogues, Séries de Dirichlet, Journées Arithmétiques de Metz, Astérisque, 94 (1982), 1-15. | Zbl 0515.12011

[7] P. Cassou-Nogues, Prolongement des séries de Dirichlet associées à un polynôme à deux indéterminées (à paraître).

[8] J. Dieudonne, Eléments d'analyse, tome 2, Gauthier-Villars, 1974.

[9] I.M. Gel'Fand and G.E. Shilov, Generalized Functions, Vol. 1, Academic Press, New-York, 1964. | Zbl 0115.33101

[10] E. Lindelof, Le Calcul des Résidus, Chelsea Publishing Company, 1947.

[11] K. Mahler, Uber einer Satz von Mellin, Math. Ann, 100 (1928), 384-395. | JFM 54.0369.03

[12] H. Mellin, Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem Geshlecht, Acta Soc. Scient. Fennicae, 29, N° 4 (1900).

[13] O. Moussa, Prolongement méromorphe des séries de Dirichlet associées à un polynôme, Mémoire de D.E.A., Université de Dakar (1983).

[14] P. Sargos, Séries de Dirichlet associées à des fractions rationnelles de plusieurs variables, Séminaire de Théorie des nombres, exposé N°1, Public. Univ. Bordeaux (1981-1982). | Zbl 0524.32001

[15] E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions, Clarendon Press, Oxford, 1949.