Domaines réguliers du plan
Annales de l'Institut Fourier, Volume 35 (1985) no. 1, p. 49-55

A plane simply connected domain $\Omega$ is called regular if it satisfies the following condition:

$\exists \mathbf{C},\forall {z}_{0}\in \mathbf{C},\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\forall r>0,\phantom{\rule{4pt}{0ex}}{ℋ}^{1}\left(\partial \Omega \cap \left\{|z-{z}_{0}|

where ${ℋ}^{1}$ stands for the one-dimensional Hausdorff measure. Let $X$ be the set of all $\left(\Phi ,\Omega \right)$ where $\Omega$ is a regular domain and $\Phi$ a conformal mapping from ${\mathbf{R}}_{+}^{2}$ onto $\Omega$. ${X}_{0}$ is the set of all $\left(\Phi ,\Omega \right)$ in $X$ with $\Omega$ a Lavrentiev domain. Let

$\stackrel{˜}{𝒟}=\left\{log{\Phi }^{\prime };\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\left(\Phi ,\Omega \right)\in X\right\}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{and}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\stackrel{˜}{ℒ}=\left\{Log{\Phi }^{\prime };\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\left(\Phi ,\Omega \right)\in {X}_{0}\right\}.$

We prove that $\stackrel{˜}{𝒟}$ the subset of $BMOA\left({\mathbf{R}}_{+}^{2}\right)$ and that $\stackrel{˜}{ℒ}$ is the interior $\stackrel{˜}{𝒟}$ in this space. Moreover we prove that $\stackrel{˜}{𝒟}$ is not contained in the closure of $\stackrel{˜}{ℒ}$. These results refine and improve the results of the papar: “Représentation conforme et courbes presque-lipschitziennes” which has appeared in a preceeding issue of this journal.

Un domaine $\Omega$ simplement connexe est dit régulier s’il vérifie la condition suivante : il existe $\exists \mathbf{C}>0,\forall {z}_{0}\in \mathbf{C},\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\forall r>0,\phantom{\rule{4pt}{0ex}}{𝒦}^{1}\left(\partial \Omega \cap \left\{|z-{z}_{0}|${ℋ}^{1}$ désigne la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle. On appelle $X$ l’ensemble des couples ($\Phi$,$\Omega \right)$, où $\Omega$ est un domaine régulier, et $\Phi$ une représentation conforme de ${\mathbf{R}}_{+}^{2}$ sur $\Omega$. ${X}_{0}$ est l’ensemble des ($\Phi$,$\Omega \right)$ appartenant à $X$ tels que $\Omega$ soit un domaine de Lavrentiev. On pose

$\stackrel{˜}{𝒟}=\left\{log{\Phi }^{\prime };\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\left(\Phi ,\Omega \right)\in X\right\}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\text{et}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\stackrel{˜}{ℒ}=\left\{Log{\Phi }^{\prime };\phantom{\rule{4pt}{0ex}}\left(\Phi ,\Omega \right)\in {X}_{0}\right\}.$

Nous montrons que $\stackrel{˜}{𝒟}$ est inclus dans $BMOA\left({\mathbf{R}}_{+}^{2}\right)$ et que $\stackrel{˜}{ℒ}$ est l’intérieur de $\stackrel{˜}{𝒟}$ dans cet espace. Nous montrons de plus qu’il existe un point de $\stackrel{˜}{𝒟}$ qui n’est pas adhérent à $\stackrel{˜}{ℒ}$. Ces résultats complètent et généralisent ceux de l’article “Représentation conforme et courbes presque-lipschitziennes” paru dans une précédente édition de cette revue.

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Zinsmeister, Michel. Domaines réguliers du plan. Annales de l'Institut Fourier, Volume 35 (1985) no. 1, pp. 49-55. doi : 10.5802/aif.997. http://www.numdam.org/item/AIF_1985__35_1_49_0/

[1] L. Ahlfors, Zur Theorie des “Uberlagerungs-flächen”, Acta. Math., 65 (1935), 157-194. | JFM 61.0365.03 | Zbl 0012.17204

[2] K. Astala, F. Gehring, Injectivity criteria and the quasidisk, Preprint (University of Michigan). | Zbl 0588.30022

[3] A. Baernstein, Univalence and bounded mean oscillation, Mich. Math. Journal, 23 (1976), 217-223. | MR 56 #3281 | Zbl 0331.30014

[4] A. Denjoy, Les continus cycliques et la représentation conforme, Bull. Soc. Math de France, 70 (1942), 97-125. | Numdam | MR 6,207b | Zbl 0028.40302

[5] H. Federer, Geometric measure theory, Springer Verlag, Berlin and New York, 1969. | MR 41 #1976 | Zbl 0176.00801

[6] F. Gehring, Spirals and the universal Teichmüller space, Acta Math., 141 (1978), 99-113. | MR 58 #17076 | Zbl 0393.30015

[7] C. Pommerenke, Univalent functions, Vanden-hoeck et Ruprecht, Göttingen, 1975.

[8] M. Zinsmeister, Représentation conforme et courbes presque lipschitziennes, Ann Inst. Fourier, 34, 2 (1984), 29-44. | Numdam | MR 85k:30004 | Zbl 0522.30007