Applications de la notion d'entropie au développement d'un nombre réel dans une base de Pisot

Bertrand-Mathis, Anne

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 3, pp. 1-32.

Soit $\theta$ un nombre de Pisot de degré $s$ ; nous avons montré précédemment que l’endomorphisme du tore ${\mathbf{T}}^s$ dont $\theta$ est valeur propre est facteur du $\theta$-shift bilatéral par une application continue $q_s$ ; nous prouvons ici (théorème 1) que l’application $q_s$ conserve l’entropie de toute mesure invariante sur le $\theta$-shift. Ceci permet de définir l’entropie d’un nombre dans la base $\theta$ et d’en étudier la stabilité. Nous généralisons également des résultats de Kamae, Rauzy et Bernay.

Let $\theta$ be a Pisot number of degree $s$. We have shown in a previous article that the endomorphism of the torus ${\mathbf{T}}^s$ associated to $\theta$ is a factor of the $\theta$-shift by a continuous map $q_s$. In theorem 1, we prove that $q_s$ preserves the entropy of all invariant measures on the $\theta$-shift. This enables us to define the entropy of a real number expanded in basis $\theta$ and to study its properties. Our results generalize those of Kamae, Rauzy and Bernay.

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