Action d'une forme réelle d'un groupe de Lie complexe sur les fonctions plurisousharmoniques

Loeb, Jean-Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 35 (1985) no. 4, pp. 59-97.

Soit $G_{\mathbf{C}}$ un groupe de Lie complexe et $G_{\mathbf{R}}$ une forme réelle fermée de $G_{\mathbf{C}}$. Un couple $(G_{\mathbf{C}},G_{\mathbf{R}})$ est dit pseudo-convexe, s’il existe sur $G_{\mathbf{C}}$ une fonction régulière, strictement p.s.h., invariante par l’action de $G_{\mathbf{R}}$ et d’exhaustion sur $G_{\mathbf{C}}/G_{\mathbf{R}}$. On dit que $G_{\mathbf{R}}$ est à spectre imaginaire pur, si pour tout $X$ de Lie$\left(G_{\mathbf{R}}\right)$, les valeurs propres de ad$X$ sont imaginaires pures. Pour $G_{\mathbf{C}}$ à radical simplement connexe, cette dernière propriété équivaut à la pseudo-convexité de $(G_{\mathbf{C}},G_{\mathbf{R}})$. Pour $(G_{\mathbf{C}},G_{\mathbf{R}})$ pseudo-convexe et sous une hypothèse de sous-groupe discret, il existe sur tout ouvert invariant $\Omega$ une fonction invariante strictement p.s.h. et d’exhaustion sur $\Omega /G_{\mathbf{R}}$. Sous les mêmes hypothèses, on a le théorème suivant : “Soit $\Omega$ un ouvert de Stein $G_{\mathbf{R}}$-invariant de $X\times G_{\mathbf{C}}$ et à fibre connexe au-dessus de $X$. Sa projection sur $X$ est de Stein, lorsque $X$ est de Stein”. Au chapitre VI, on montre l’inexistence d’une métrique kählérienne invariante sur $G_{\mathbf{C}}$ lorsque $G_{\mathbf{R}}$ n’est pas à spectre imaginaire pur. Ce résultat implique l’inexistence d’une métrique kählérienne pour certaines variétés résolubles complexes non compactes.

Let $G_{\mathbf{C}}$ be a complex Lie group and $G_{\mathbf{R}}$ a closed real form of $G_{\mathbf{C}}$. By definition, a pair $(G_{\mathbf{C}},G_{\mathbf{R}})$ is pseudo-convex, if there exists on $G_{\mathbf{C}}$ a regular function, strictly p.s.h., invariant by $G_{\mathbf{R}}$, and exhaustive on $G_{\mathbf{C}}/G_{\mathbf{R}}$. By definition, $G_{\mathbf{R}}$ has a purely imaginary specter, if for all $X$ in $\left(G_{\mathbf{R}}\right)$, the eigenvalues of ad$X$ are purely imaginary. When $G_{\mathbf{C}}$ has a simply connected radical, this last property is the same as pseudo-convexity of $(G_{\mathbf{C}},G_{\mathbf{R}})$. For $(G_{\mathbf{C}},G_{\mathbf{R}})$ pseudo-convex and under a discrete subgroup hypothesis, there exists on an invariant open subset $\Omega$, a strictly p.s.h. invariant function, exhaustive on $\Omega /G_{\mathbf{R}}$. With the same hypothesis, we have the following theorem: “Let be $\Omega$ a $G_{\mathbf{R}}$-invariant open subset of de $X\times G_{\mathbf{C}}$, with connected fibers upon $X$. His protection on $X$ is Stein, when $X$ is Stein”. We prove also the non existence of an invariant kählerian metric on $G_{\mathbf{C}}$, when the specter of $G_{\mathbf{R}}$ is not purely imaginary. We deduce the non existence of a kählerian metric on some non compact complex nilmanifolds.

[1] N. Bourbaki, Algèbres de Lie, Hermann, (Chap. I). | Zbl

[2] B. Chafi, Principe du Minimum pour les fonctions plurisousharmoniques, Thèse de 3e cycle, Université de Lille 1, (juin 1983).

[3] J. Dieudonne, Éléments d'Analyse, Gauthier-Villars, (Tome 4). | Zbl

[4] F. Docquier und H. Grauert, Levisches problem und Rungeschen satz für Teilgebiete Steinscher Mannigfaltigkeiten, Math. Ann., 140 (1960), 94-123. | EuDML | MR | Zbl

[5] B. Gilligan, A. Huckleberry, On non compact complex nil-manifolds, Math. Ann., 238 (1978), 39-49. | EuDML | MR | Zbl

[6] S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric spaces, Academic Press. | Zbl

[7] J. W. Jenkins, Growth of connected locally compact lie groups, Journ. of functional Analysis, 12 (1973), 113-127. | MR | Zbl

[8] C. O. Kiselman, The partial Legendre transform for plurisubharmonic functions, Invent. Math., 49 (1978), 137-148. | EuDML | MR | Zbl

[9] Matsushima, Morimoto, Sur certains fibrés holomorphes sur une variété de Stein, Bull. Soc. Math. Soc. France, 88 (1960), 137-155. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[10] Milnor, Morse Theory, Annals of Math. Studies, 51, Princeton Univ. Press, 1963. | Zbl

[11] M. S. Raghunathan, Discrete subgroups of Lie groups, Springer Verlag. | Zbl

[12] B. Reed, Representations of solvable Lie algebras, Michigan Math., 16 (1969), 227-233. | MR | Zbl

[13] G. Warner, Harmonic analysis on semi-simple Lie groups, Springer Verlag, (Tome 1). | Zbl