Non prolongement unique des solutions d'opérateurs «somme de carrés»
Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 4, pp. 137-155.

Dans ce travail, nous avons montré que si P= i=1 n-1 x i 2 , où les x i sont des champs de vecteurs C linéairement independants dans un ouvert Ω de R n tels que l’algèbre de Lie qu’ils engendrent soit de rang maximum en tout point et la forme volume qu’on leur associe soit de classe 4 en un point x 0 de Ω, alors il existe un voisinage ouvert V de x 0 et une fonction aC (V) tels que P+a possède pas la propriété de prolongement unique.

Let (x i ), i=1,...,n-1 be C linearly independent vector fields on an open set Φ of R n . Assume that the Lie algebra generated by these fields is of maximal rank at every point of Ω and that the volume form associated to them is of class 4 at a point x 0 of Ω. We show then that if P is the operator P= i=1 n-1 x i 2 , there exists an open neighborhood V of x 0 and a function aC (V) such that P+a does not enjoy the uniqueness extension property.

@article{AIF_1986__36_4_137_0,
     author = {Bahouri, Hajer},
     title = {Non prolongement unique des solutions d'op\'erateurs {\guillemotleft}somme de carr\'es{\guillemotright}},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {137--155},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {36},
     number = {4},
     year = {1986},
     doi = {10.5802/aif.1071},
     mrnumber = {88c:35027},
     zbl = {0603.35008},
     language = {fr},
     url = {http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1071/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bahouri, Hajer
TI  - Non prolongement unique des solutions d'opérateurs «somme de carrés»
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 1986
SP  - 137
EP  - 155
VL  - 36
IS  - 4
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1071/
DO  - 10.5802/aif.1071
LA  - fr
ID  - AIF_1986__36_4_137_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bahouri, Hajer
%T Non prolongement unique des solutions d'opérateurs «somme de carrés»
%J Annales de l'Institut Fourier
%D 1986
%P 137-155
%V 36
%N 4
%I Institut Fourier
%C Grenoble
%U http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1071/
%R 10.5802/aif.1071
%G fr
%F AIF_1986__36_4_137_0
Bahouri, Hajer. Non prolongement unique des solutions d'opérateurs «somme de carrés». Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 4, pp. 137-155. doi : 10.5802/aif.1071. http://archive.numdam.org/articles/10.5802/aif.1071/

[1] R. Abraham and J. E. Marsden, Foundations of Mechanics, The Benjamin, Cummings Publishing Company.

[2] S. Alinhac, Non unicité du problème de Cauchy pour des opérateurs de type principal. Sém. Goulaouic-Schwartz, exposé n° 16, École Polytechnique, Paris (Mars 1981). | Numdam | Zbl

[3] S. Alinhac et C. Zuily, Unicité et non unicité du problème de Cauchy pour des opérateurs à caractéristiques doubles, Comm. in P.D.E., 6 (7) (1981), 799-828. | MR | Zbl

[4] H. Bahouri, Unicité et non unicité du problème de Cauchy pour des opérateurs à symbole principal réel. Thèse de 3e cycle à Orsay (1982) et article à paraître.

[5] J. M. Bony, Principe du maximum, inégalité de Harnack et unicité du problème de Cauchy pour les opérateurs elliptiques dégénérés, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 19-1 (1969), 277-304. | Numdam | MR | Zbl

[6] P. Cohen, The non uniqueness of the Cauchy problem, O. N. Techn. Report 93, Stanford 1960.

[7] C. Godbillon, Géométrie différentielle et mécanique analytique, Hermann. | Zbl

[8] L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer Verlag, 1963. | Zbl

[9] L. Hörmander, Non uniqueness for the Cauchy problem, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, n° 459 (1975), 36-72. | MR | Zbl

[10] L. Hörmander, Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math. Uppsala, 119 (1967), 147-171. | MR | Zbl

[11] P. Malliavin, Géométrie différentielle intrinsèque, Hermann. | Zbl

[12] A. Pliš, The problem of uniqueness for the solution of a system of partial differential equations, Bull. Acad. Pol. Sci., 2 (1954), 55-57. | MR | Zbl

[13] A. Pliš, Non uniqueness in Cauchy's problem for differential equations of elliptic type, J. Math. Mech., 9 (1960), 557-562. | MR | Zbl

[14] K. Watanabe, L'unicité du prolongement des solutions elliptiques dégénérées, Tohoku Math. Journal, 34 (1982), 239-249. | MR | Zbl

Cité par Sources :