Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur ${\mathbb{P}}_2$

Hulek, K.; Le Potier, Joseph

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 2, pp. 251-292.

L’espace de modules $M=M(0,3)$ des faisceaux semi-stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur le plan projectif ${\mathbb{P}}_2$ est une variété projective irréductible et lisse de dimension 9. Dans $M$, les points qui ne proviennent pas d’un faisceau localement libre constituent une hypersurface $\partial M$. Dans cet article, nous montrons que toute surface complété de $M$ rencontre la frontière $\partial M$, autrement dit qu’il n’existe pas de famille de fibrés vectoriels paramétrée par une surface complète de $M$. La démonstration repose sur la construction d’un morphisme birationnel $\phi :M\to \mathrm{Gr}$ de $M$ dans la grassmannienne Gr des réseaux de coniques de ${\mathbb{P}}_2$, ce qui nous permet d’identifier $M$ avec l’éclaté d’une surface de Gr. Ceci conduit à une description précise de l’algèbre de cohomologie de $M$, description utilisée pour déterminer quelle pourrait être la classe fondamentale des surfaces complètes de $M$ ne rencontrant pas $\partial M$ et aboutir à une contradiction.

The moduli space of semi-stable sheaves of rank-2 and Chern classes (0,3) on the projective plane ${\mathbb{P}}_2$, denoted by $M=M(0,3)$, is a smooth irreducible projective variety of dimension 9. In $M$, the points which come from sheaves which are not locally free give a hypersurface $\partial M$. In this article we show that all complete surfaces in $M$ must meet the boundary $\partial M$; in other words, there does not exist a family of vector bundles which is parametrized by a complete surface in $M$. The essential point of the proof is the construction of a birational morphism $\Phi :M\to ,\mathrm{Gr}$ from $M$ to the grassmannian Gr of nets of conics in ${\mathbb{P}}_2$; this allows us to identify $M$ with a blow-up of Gr along a surface. This gives us a precise description of cohomology algebra of $M$ and we use this to determine the fundamental class of a complete surface in $M$ which does not meet $\partial M$. We then show that this value of the fundamental class can not arise.

[1] E. Arbarello, M. Cornalba, P.A. Griffiths, J. Harris, Geometry of algebraic curves, Springer-Verlag, 1985. | MR | Zbl

[2] W. Barth, Moduli of vector bundles on the projective plane, Inventiones Math., 42 (1977), 63-91. | MR | Zbl

[3] J.-M. Drezet et J. Le Potier, Fibrés stables et fibrés exceptionnels sur ℙ2, Ann. Sc. Éc. Norm. Sup., 18 (1985), 193-244. | Numdam | MR | Zbl

[4] W. Fulton, Intersection theory, Springer-Verlag, 1984. | MR | Zbl

[5] P.A. Griffiths and J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley Interscience, New York, 1978. | MR | Zbl

[6] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Springer-Verlag, 1977. | MR | Zbl

[7] A. Hirschowitz et K. Hulek, Complete families of stable vector bundles over ℙ2. In : Complex analysis and algebraic geometry, Lecture Notes in Math., Springer, 1194 (1986), 19-33. | MR | Zbl

[8] K. Hulek and S. A. Strømme, Appendix to the paper "Complete families of stable vector bundles over P2", Lecture Notes in Math., Springer, 1194 (1986), 34-40. | Zbl

[9] J. Le Potier, Fibrés stables de rang 2 sur ℙ2(ℂ), Math. Annalen, 241 (1979), 217-256. | MR | Zbl

[10] J. Le Potier, Stabilité et amplitude sur ℙ2, Vector bundles and differential equations, Progress in Math. 7, Birkhauser, Boston (1980), 145-182. | MR | Zbl

[11] J. Le Potier, Variétés de modules de faisceaux semistables de rang élevé sur ℙ2, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Algebraic Geometry, Bowdoin (1985), Volume 46 (2), 87-107. | MR | Zbl

[12] M. Maruyama, Moduli of stable sheaves, II, J. Math. Kyoto Univ., 18 (1978), 557-614. | MR | Zbl

[13] J.-P. Serre, Algèbre locale et multiplicités (rédigé par P. Gabriel), Lectures Notes in Math., Springer, 1965.

[14] S. A. Stromme, Ample divisors on fine moduli spaces on the projective plane, Math. Z., 187 (1984), 405-423. | MR | Zbl