Sur l’équation de Monge-Ampère complexe dans la boule de ${ℂ}^{n}$
Annales de l'Institut Fourier, Volume 39 (1989) no. 3, p. 773-775

Let us consider the Dirichlet problem:

$\left(d{d}^{c}u{\right)}^{n}=0\phantom{\rule{0.277778em}{0ex}}\mathrm{dans}\phantom{\rule{0.277778em}{0ex}}B$

and

$u{|}_{\partial B}=\phi$

where $B$ stands for the units ball in ${ℂ}^{n}$.

We give a simple proof of the following fact: if $\varphi \in {C}^{1,1}\left(\partial B\right)$ then $u\in {C}^{1,1}\left(B\right)$; furthermore the growth of the Lipschitz coefficient of the differential of $u$ is controlled by the inverse of the distance to the boundary.

On considère le problème de Dirichlet :

$\left(d{d}^{c}u{\right)}^{n}=0\phantom{\rule{0.277778em}{0ex}}\mathrm{dans}\phantom{\rule{0.277778em}{0ex}}B$

et

$u{|}_{\partial B}=\phi$

$B$ désigne la boule unité de ${ℂ}^{n}.$

Nous donnons une démonstration simple du fait que si $\phi \in {C}^{1,1}\left(\partial B\right)$, alors $u\in {C}^{1,1}\left(B\right)$; de plus la croissance du coefficient de Lipschitz de la différentielle de $u$ est contrôlée par l’inverse de la distance au bord.

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pages = {773-775},
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Dufresnoy, Alain. Sur l’équation de Monge-Ampère complexe dans la boule de ${\mathbb {C}}^n$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 39 (1989) no. 3, pp. 773-775. doi : 10.5802/aif.1187. http://www.numdam.org/item/AIF_1989__39_3_773_0/`

[1] E. Bedford & B.A. Taylor, The Dirichlet problem for a complex Monge-Ampère equation, Invent. Math., 37 (1976), 1-44. | MR 56 #3351 | Zbl 0315.31007

[2] W. Rudin, Function theory in the unit Ball of Cn, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 241, Springer-Verlag. | MR 82i:32002 | Zbl 0495.32001