Représentations des algèbres de rang 2 et fonctions zêta associées

Achab, Dehbia

Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 2, pp. 437-451.

Dans un travail précédent nous avons défini et étudié la fonction zêta associée à une représentation d’une algèbre de Jordan euclidienne déployée et à un réseau dans l’espace de la représentation. Nous avons démontré la convergence dans un demi-plan, établi l’existence d’un prolongement méromorphe et d’une équation fonctionnelle scalaire. Cette fonction est une généralisation de la fonction zêta de Koecher; elle est donnée dans son domaine de convergence, par une série qui somme sur certains éléments du réseau, modulo un groupe arithmétique ${\Gamma }_{\circ }$, laissant stable le réseau.

L’objet de cet article est l’étude explicite du cas d’une algèbre de Jordan $V$ de rang 2; nous considérons une représentation particulière dans une algèbre de Clifford dans laquelle nous fixons un réseau. Le groupe ${\Gamma }_{\circ }$ est alors un certain sous-groupe arithmétique d’un revêtement à deux feuillets du groupe orthochrone $S{O}_{\circ }(1,n)$ où $n+1$ désigne la dimension de $V$. Ce cas de figure donne lieu à une fonction fonction zêta, vérifiant une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann, la fonction gamma d’Euler étant remplacée par la fonction gamma du cône de Lorentz.

In a previous work, I have defined the zeta function attached to a Jordan algebra representation and a lattice in the representation space. I have established that it converges on a half plane, it admits a meromorphic continuation and satisfies to a functional equation. This function is a generalization of the Koecher zeta function, it is given, on its convergence domain, by a series, which sums over some of the lattice elements, modulo some arithmetic subgroup ${\Gamma }_{\circ }$ which fixes the lattice.

This article is about the explicit study of this zeta function, in the particular case of a rank 2 Jordan algebra $V$; I consider some representation in a Clifford algebra in which I choose the lattice. Therefore, the group ${\Gamma }_{\circ }$ is equal to some arithmetic subgroup of some covering of the orthochrone group $S{O}_{\circ }(1,n)$ where I put $n+1$ for the dimension of $V$. In this case, the zeta function is new, it satisfies to some functional equation very similar to the Riemann’s zeta function one, the Euler gamma function being replaced by the gamma function of the Lorentz cone.

[1] D. Achab, Fonction zêta des représentations des algèbres de Jordan, thèse Université Paris 6, 1993. | MR | Zbl

[2] D. Achab, Fonction zêta d'une représentation d'algèbre de Jordan, C.R.A.S, Paris, t. 316, Série I (1993), 977-982. | MR | Zbl

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