Noot, Rutger
Classe de conjugaison du frobenius des variétés abéliennes à réduction ordinaire
Annales de l'institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5 , p. 1239-1248
Zbl 0834.14026 | MR 96m:14064
doi : 10.5802/aif.1494
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_1995__45_5_1239_0

Soient X une variété abélienne sur un corps de nombres E et G son groupe de Mumford–Tate. Soit v une valuation de E et pour tout nombre premier tel que v()=0, soit F G(Q ) l’automorphisme de Frobenius (géométrique) de la cohomologie étale -adique de X. On montre que si X a une bonne réduction ordinaire en v, alors il existe FG(Q) tel que, pour tout , F soit conjugué à F dans G(Q ). On montre un résultat analogue pour le frobenius de la cohomologie cristalline de la réduction de X modulo v.
Let X be an abelian variety over a number field E and let G be its Mumford–Tate group. Let v be a valuation of E and for each prime number with v()=0, let F G(Q ) be the (geometric) Frobenius automorphism of the -adic étale cohomology of X. It is shown that if X has good and ordinary reduction at v, then there is an element FG(Q) such that, for each , F is conjugate to F inside G(Q ). We prove a similar result for the frobenius on the crystalline cohomology of the reduction of X modulo v.

Bibliographie

[De] P. Deligne, Hodge cycles on abelian varieties, Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties (P. Deligne, J. S. Milne, A. Ogus and K.-y. Shih), Chapter I, pp. 9-100, Lecture Notes in Math. 900, Springer-Verlag, 1982. Zbl 0537.14006

[DM] P. Deligne, J. S. Milne, Tannakian categories, Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties (P. Deligne, J. S. Milne, A. Ogus and K.-y. Shih), Chapter II, pp. 101-228, Lecture Notes in Math. 900, Springer-Verlag, 1982. Zbl 0477.14004

[Mi] J. S. Milne, Etale Cohomology, Princeton University Press, 1980. MR 81j:14002 | Zbl 0433.14012

[M-B] L. Moret-Bailly, Pinceaux de variétés abéliennes, Astérisque, Soc. Math. France, 129 (1985). MR 87j:14069 | Zbl 0595.14032

[MF] D. Mumford, J. Fogarty, Geometric Invariant Theory, Second enlarged edition, Springer-Verlag, 1982. MR 86a:14006 | Zbl 0504.14008

[No] R. Noot, Models of Shimura varieties in mixed characteristic, à paraître dans J. Algebraic Geom. Zbl 0864.14015

[Og] A. Ogus, A p-adic Analogue of the Chowla-Selberg Formula, p-adic Analysis (F. Baldassarri, S. Bosch and B. Dwork editors), pp. 319-341, Lecture Notes in Math. 1454, Springer-Verlag, 1990. MR 92i:11060 | Zbl 0757.14014

[Se] J.-P. Serre, Propriétés conjecturales des groupes de Galois motiviques et des représentations l-adiques, Motives (U. Jansen, S. Kleiman, J.-P. Serre editors), pp. 377-400, Proc. Sympos. Pure Math. 55, Part 1, Amer. Math. Soc., 1994. MR 95m:11059 | Zbl 0812.14002

[ST] J.-P. Serre, J. Tate, Good reduction of abelian varieties, Ann. of Math., 88 (1968), 492-517. MR 38 #4488 | Zbl 0172.46101

[Wi] J.-P. Wintenberger, Torseur entre cohomologie étale p-adique et cohomologie cristalline, le cas abélien, Duke Math. J., 62 (1991), 511-526. MR 92j:14024 | Zbl 0746.14007