Achab, Dehbia
Zeta functions of Jordan algebras representations
Annales de l'institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5 , p. 1283-1303
Zbl 0843.11042 | MR 96k:11108
doi : 10.5802/aif.1496
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_1995__45_5_1283_0

Ce travail porte sur une généralisation de la fonction zêta de Kœcher . Soient V une algèbre de Jordan simple euclidienne de dimension n et de rang m,E un espace euclidien de dimension N, φ une représentation auto-adjointe régulière de V dans E, Q la forme quadratique vectorielle associée à φ, Ω le cône symétrique associé à V, et G(Ω) son groupe d’automorphismes G(Ω)={gGL(V)|g(Ω)=Ω}. (H 1 ) On suppose que V et E admettent des Q-structures V Q et E Q respectivement et φ est définie sur Q. Soit L un réseau dans E Q . La série zêta associée à φ et L est définie par ζ L (s)= lΓ L [ det (Q(l))] -s ,sCL ={lL| det (Q(l))0}, Γ est un certain sous-groupe arithmétique de GL(E). (H 2 ) On suppose que V Q est déployée, i.e. son rang est égal à son rang primitif. Les résultats fondamentaux sont : 1. Sous les hypothèses (H 1 ) et (H 2 ) et à l’aide de la théorie de la réduction de Borel (ensembles de Siegel), on montre que la série zêta ζ L (s) converge absolument pour Re (s)>N 2m. 2. ζ L admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur tout le plan C et vérifie une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann.
This work is about a generalization of Kœcher’s zeta function. Let V be an Euclidean simple Jordan algebra of dimension n and rank m, E an Euclidean space of dimension N, φ a regular self-adjoint representation of V in E, Q the quadratic form associated to φ, Ω the symmetric cone associated to V and G(Ω) its automorphism group G(Ω)={gGL(V)|g(Ω)=Ω}. (H 1 ) Assume that V and E have Q-structures V Q and E Q respectively and φ is defined over Q. Let L be a lattice in E Q . The zeta series associated to φ and L is defined by ζ L (s)= lΓ L [ det (Q(l))] -s ,sC where L ={lL| det (Q(l))0}, Γ is some arithmetic subgroup of GL(E). (H 2 ) Assume that V Q is split, which means that its rank equals its primitive rank. The fundamental results are: 1. Under the assumptions (H 1 ) and (H 2 ) and using reduction theory (Siegel sets), we show that the zeta series ζ L (s) converges absolutely for Re (s)>N 2m. 2. ζ L admits an analytic continuation as a meromorphic function on the whole plane C and satisfies to a functional equation similar to that of Riemann’s zeta function.

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