Zeta functions of Jordan algebras representations
Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, p. 1283-1303
Ce travail porte sur une généralisation de la fonction zêta de Kœcher . Soient V une algèbre de Jordan simple euclidienne de dimension n et de rang m,E un espace euclidien de dimension N, φ une représentation auto-adjointe régulière de V dans E, Q la forme quadratique vectorielle associée à φ, Ω le cône symétrique associé à V, et G(Ω) son groupe d’automorphismesG(Ω)={gGL(V)|g(Ω)=Ω}.(H 1 ) On suppose que V et E admettent des Q-structures V Q et E Q respectivement et φ est définie sur Q. Soit L un réseau dans E Q . La série zêta associée à φ et L est définie parζL(s)=lΓL[ det (Q(l))]-s,sCL ={lL| det (Q(l))0}, Γ est un certain sous-groupe arithmétique de GL(E). (H 2 ) On suppose que V Q est déployée, i.e. son rang est égal à son rang primitif. Les résultats fondamentaux sont : 1. Sous les hypothèses (H 1 ) et (H 2 ) et à l’aide de la théorie de la réduction de Borel (ensembles de Siegel), on montre que la série zêta ζ L (s) converge absolument pour Re (s)>N 2m. 2. ζ L admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur tout le plan C et vérifie une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann.
This work is about a generalization of Kœcher’s zeta function. Let V be an Euclidean simple Jordan algebra of dimension n and rank m, E an Euclidean space of dimension N, φ a regular self-adjoint representation of V in E, Q the quadratic form associated to φ, Ω the symmetric cone associated to V and G(Ω) its automorphism groupG(Ω)={gGL(V)|g(Ω)=Ω}.(H 1 ) Assume that V and E have Q-structures V Q and E Q respectively and φ is defined over Q. Let L be a lattice in E Q . The zeta series associated to φ and L is defined byζL(s)=lΓL[ det (Q(l))]-s,sCwhere L ={lL| det (Q(l))0}, Γ is some arithmetic subgroup of GL(E). (H 2 ) Assume that V Q is split, which means that its rank equals its primitive rank. The fundamental results are: 1. Under the assumptions (H 1 ) and (H 2 ) and using reduction theory (Siegel sets), we show that the zeta series ζ L (s) converges absolutely for Re (s)>N 2m. 2. ζ L admits an analytic continuation as a meromorphic function on the whole plane C and satisfies to a functional equation similar to that of Riemann’s zeta function.
@article{AIF_1995__45_5_1283_0,
     author = {Achab, Dehbia},
     title = {Zeta functions of Jordan algebras representations},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {45},
     number = {5},
     year = {1995},
     pages = {1283-1303},
     doi = {10.5802/aif.1496},
     zbl = {0843.11042},
     mrnumber = {96k:11108},
     language = {en},
     url = {http://http://www.numdam.org/item/AIF_1995__45_5_1283_0}
}
Achab, Dehbia. Zeta functions of Jordan algebras representations. Annales de l'Institut Fourier, Tome 45 (1995) no. 5, pp. 1283-1303. doi : 10.5802/aif.1496. http://www.numdam.org/item/AIF_1995__45_5_1283_0/

[1] D. Achab, Représentations des algèbres de Jordan de rang 2 et fonctions zeta associées, Annales de l'Institut Fourier, Grenoble, 45-2 (1995), 437-451. | Numdam | MR 96h:11088 | Zbl 0824.11054

[2] T. Arakawa, Dirichlet Series Corresponding to Siegel's Modular Forms, Math. Ann., 238 (1978), 157-173. | MR 80c:10026 | Zbl 0373.10017

[3] A. Ash, D. Mumford, M. Rapopport et Y.S. Tai, Smooth compactifications of locally symmetric varieties. Lie groups : History, frontiers and applications, Math. Sci. Press, 1975. | Zbl 0334.14007

[4] A. Borel, Introduction aux groupes arithmétiques, Hermann, Paris, 1969. | MR 39 #5577 | Zbl 0186.33202

[5] A. Borel, Linear algebraic groups. Second Enlarged Edition, Springer-Verlag, 1991. | MR 92d:20001 | Zbl 0726.20030

[6] A. Borel, Density and maximality of arithmetic subgroups, J. Reine Angw. Math., 224 (1966), 78-89. | MR 34 #5824 | Zbl 0158.03105

[7] Braun et KŒCher, Jordan-Algebren, Springer, 1966. | Zbl 0145.26001

[8] J.L. Clerc, Représentations d'une algèbre de Jordan, polynômes invariants et harmoniques de Stiefel, J. Reine Angw. Math., 423 (1992), 47-71. | Zbl 0749.17042

[9] J. Faraut et A. Koranyi, Analysis on symmetric cones, Oxford University Press, 1994. | MR 98g:17031 | Zbl 0841.43002

[10] M. Koecher, Uber Dirichlet-Reihen mit Funktionalgleichung, J. Reine Angw. Math., 192 (1953), 1-23. | MR 15,290a | Zbl 0053.05501

[11] A. Krieg, Kœcher-Maass-Series for Modular Forms of Quaternions, Manuscripta Math., 66 (1990), 431-451. | MR 91b:11062 | Zbl 0698.10019

[12] A. Krieg, Modular Forms on Half-Spaces of Quaternions, Springer-Verlag, 1980.

[13] H. Maass, Siegel's Modular Forms and Dirichlet Series, Lect. Notes in Math. 216, Springer-Verlag, 1971. | MR 49 #8938 | Zbl 0224.10028

[14] M. Sato et T.Shintani, On zeta functions associated with prehomogeneous vector spaces, Ann. of Math., 100 (1974), 131-170. | MR 49 #8969 | Zbl 0309.10014

[15] I. Satake, private communication.